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Subjects
Class 11 Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Hard Level 29

वास्तविक-मूल्य फलन \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\) के प्रांत और परास का सही वर्णन कौन-सा है?

Which of the following correctly describes the domain and range of the real-valued function \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\); परास \(( -\infty,-1]\cup(1,\infty)\)Domain \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\); Range \(( -\infty,-1]\cup(1,\infty)\)

Explanation

Simple Explanation

हर के शून्य न होने की शर्त से \(x^2-1\ne0\), अतः \(x\ne\pm1\)। इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\) है। परास के लिए \(y=\frac{x^2+1}{x^2-1}\) लेने पर \(x^2=\frac{y+1}{y-1}\) मिलता है। चूँकि \(x^2\ge0\) और \(y\ne1\), इसलिए \(y\le-1\) या \(y>1\) होना चाहिए। \(y=-1\), \(x=0\) पर प्राप्त होता है, लेकिन \(y=1\) कभी प्राप्त नहीं होता। विकल्प B में प्रांत से निकाले गए मानों को गलत ढंग से परास से निकाले गए मान मान लिया गया है। परीक्षा टिप: परिमेय फलनों में पहले हर से प्रांत ज्ञात करें, फिर आउटपुट के लिए अलग से शर्त जाँचें। / The denominator must be non-zero: \(x^2-1\ne0\), so \(x\ne\pm1\). Hence, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\). For the range, let \(y=\frac{x^2+1}{x^2-1}\). Then \(x^2=\frac{y+1}{y-1}\). Since \(x^2\ge0\) and \(y\ne1\), we must have \(y\le-1\) or \(y>1\). The value \(y=-1\) occurs at \(x=0\), whereas \(y=1\) is never attained. Option B incorrectly treats excluded domain values as excluded range values. Exam tip: for rational functions, find denominator restrictions first, then determine range separately.

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वास्तविक-मूल्य फलन \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\) के प्रांत और परास का सही वर्णन कौन-सा है? / Which of the following correctly describes the domain and range of the real-valued function \(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\)?

Correct Answer: A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\); परास \(( -\infty,-1]\cup(1,\infty)\) / Domain \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\); Range \(( -\infty,-1]\cup(1,\infty)\). Explanation: हर के शून्य न होने की शर्त से \(x^2-1\ne0\), अतः \(x\ne\pm1\)। इसलिए प्रांत \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\) है। परास के लिए \(y=\frac{x^2+1}{x^2-1}\) लेने पर \(x^2=\frac{y+1}{y-1}\) मिलता है। चूँकि \(x^2\ge0\) और \(y\ne1\), इसलिए \(y\le-1\) या \(y>1\) होना चाहिए। \(y=-1\), \(x=0\) पर प्राप्त होता है, लेकिन \(y=1\) कभी प्राप्त नहीं होता। विकल्प B में प्रांत से निकाले गए मानों को गलत ढंग से परास से निकाले गए मान मान लिया गया है। परीक्षा टिप: परिमेय फलनों में पहले हर से प्रांत ज्ञात करें, फिर आउटपुट के लिए अलग से शर्त जाँचें। / The denominator must be non-zero: \(x^2-1\ne0\), so \(x\ne\pm1\). Hence, the domain is \(\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\). For the range, let \(y=\frac{x^2+1}{x^2-1}\). Then \(x^2=\frac{y+1}{y-1}\). Since \(x^2\ge0\) and \(y\ne1\), we must have \(y\le-1\) or \(y>1\). The value \(y=-1\) occurs at \(x=0\), whereas \(y=1\) is never attained. Option B incorrectly treats excluded domain values as excluded range values. Exam tip: for rational functions, find denominator restrictions first, then determine range separately.