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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Complement of a Set and its properties Expert Level 20

मान लें कि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,\ldots,60\}\) है। यदि \(A=\{x\in U:4\mid x\}\) और \(B=\{x\in U:9\mid x\}\), तो \(U\) के सापेक्ष \(A\cup B\) के पूरक समुच्चय में कितने सदस्य हैं?

Let the universal set be \(U=\{1,2,3,\ldots,60\}\). If \(A=\{x\in U:4\mid x\}\) and \(B=\{x\in U:9\mid x\}\), how many elements are in the complement of \(A\cup B\) with respect to \(U\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. 40

Explanation

Simple Explanation

60 तक 4 के 15 गुणज और 9 के 6 गुणज हैं। दोनों समुच्चयों में समान तत्व वे संख्याएँ हैं जो 4 और 9 दोनों से विभाज्य हों; इनका लघुत्तम समापवर्त्य 36 है और 60 तक केवल 36 ही ऐसा गुणज है। इसलिए \(n(A\cap B)=1\) और समावेशन-वर्जन सिद्धांत से \(n(A\cup B)=15+6-1=20\)। अतः पूरक समुच्चय के सदस्यों की संख्या \(60-20=40\) है। परीक्षा-युक्ति: पूरक की cardinality निकालने से पहले union में overlap एक बार अवश्य घटाएँ; 39 वाला विकल्प इसी सामान्य भूल को दर्शाता है। / There are 15 multiples of 4 and 6 multiples of 9 up to 60. An element common to both sets must be divisible by \(\operatorname{lcm}(4,9)=36\); only 36 is such a multiple up to 60. Thus, \(n(A\cap B)=1\), and by inclusion–exclusion, \(n(A\cup B)=15+6-1=20\). Therefore, the complement has \(60-20=40\) elements. Exam tip: subtract the overlap once when counting a union before finding its complement; 39 results from mishandling this overlap.

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मान लें कि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\{1,2,3,\ldots,60\}\) है। यदि \(A=\{x\in U:4\mid x\}\) और \(B=\{x\in U:9\mid x\}\), तो \(U\) के सापेक्ष \(A\cup B\) के पूरक समुच्चय में कितने सदस्य हैं? / Let the universal set be \(U=\{1,2,3,\ldots,60\}\). If \(A=\{x\in U:4\mid x\}\) and \(B=\{x\in U:9\mid x\}\), how many elements are in the complement of \(A\cup B\) with respect to \(U\)?

Correct Answer: A. 40. Explanation: 60 तक 4 के 15 गुणज और 9 के 6 गुणज हैं। दोनों समुच्चयों में समान तत्व वे संख्याएँ हैं जो 4 और 9 दोनों से विभाज्य हों; इनका लघुत्तम समापवर्त्य 36 है और 60 तक केवल 36 ही ऐसा गुणज है। इसलिए \(n(A\cap B)=1\) और समावेशन-वर्जन सिद्धांत से \(n(A\cup B)=15+6-1=20\)। अतः पूरक समुच्चय के सदस्यों की संख्या \(60-20=40\) है। परीक्षा-युक्ति: पूरक की cardinality निकालने से पहले union में overlap एक बार अवश्य घटाएँ; 39 वाला विकल्प इसी सामान्य भूल को दर्शाता है। / There are 15 multiples of 4 and 6 multiples of 9 up to 60. An element common to both sets must be divisible by \(\operatorname{lcm}(4,9)=36\); only 36 is such a multiple up to 60. Thus, \(n(A\cap B)=1\), and by inclusion–exclusion, \(n(A\cup B)=15+6-1=20\). Therefore, the complement has \(60-20=40\) elements. Exam tip: subtract the overlap once when counting a union before finding its complement; 39 results from mishandling this overlap.