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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Power Set and Universal Set Expert Level 12

यदि \(U=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) और \(A=\{2,4,6\}\) है, तो \(P(A')\) के कितने उपसमुच्चयों में 1 तथा 7 दोनों शामिल होंगे?

If \(U=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) and \(A=\{2,4,6\}\), how many subsets of \(P(A')\) will contain both 1 and 7?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

B. 4

Explanation

Simple Explanation

सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(A' = U\setminus A = \{1,3,5,7\}\)। \(P(A')\) के वे उपसमुच्चय गिनने हैं जिनमें 1 और 7 दोनों अनिवार्य रूप से हों। इसलिए 1 और 7 निश्चित हैं, जबकि 3 और 5 में से प्रत्येक को शामिल करने या न करने के 2-2 विकल्प हैं। अतः ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(2\times2=2^2=4\) है। विकल्प 16, \(A'\) के पूरे पावर सेट के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4\) है, लेकिन उसमें 1 और 7 का शामिल होना अनिवार्य नहीं है। परीक्षा-टिप: अनिवार्य तत्वों को पहले निश्चित करके शेष तत्वों के लिए \(2^n\) का प्रयोग करें। / The complement is taken with respect to the universal set: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7\}\). We need to count the subsets of \(A'\) that must contain both 1 and 7. These two elements are fixed, while 3 and 5 can each be either included or excluded. Therefore, the number of valid subsets is \(2\times2=2^2=4\). The value 16 is the size of the complete power set \(P(A')\), but it includes subsets that may not contain 1 and 7. Exam tip: fix the required elements first, then count the choices for the remaining elements using \(2^n\).

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यदि \(U=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) और \(A=\{2,4,6\}\) है, तो \(P(A')\) के कितने उपसमुच्चयों में 1 तथा 7 दोनों शामिल होंगे? / If \(U=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) and \(A=\{2,4,6\}\), how many subsets of \(P(A')\) will contain both 1 and 7?

Correct Answer: B. 4. Explanation: सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष \(A' = U\setminus A = \{1,3,5,7\}\)। \(P(A')\) के वे उपसमुच्चय गिनने हैं जिनमें 1 और 7 दोनों अनिवार्य रूप से हों। इसलिए 1 और 7 निश्चित हैं, जबकि 3 और 5 में से प्रत्येक को शामिल करने या न करने के 2-2 विकल्प हैं। अतः ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(2\times2=2^2=4\) है। विकल्प 16, \(A'\) के पूरे पावर सेट के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4\) है, लेकिन उसमें 1 और 7 का शामिल होना अनिवार्य नहीं है। परीक्षा-टिप: अनिवार्य तत्वों को पहले निश्चित करके शेष तत्वों के लिए \(2^n\) का प्रयोग करें। / The complement is taken with respect to the universal set: \(A'=U\setminus A=\{1,3,5,7\}\). We need to count the subsets of \(A'\) that must contain both 1 and 7. These two elements are fixed, while 3 and 5 can each be either included or excluded. Therefore, the number of valid subsets is \(2\times2=2^2=4\). The value 16 is the size of the complete power set \(P(A')\), but it includes subsets that may not contain 1 and 7. Exam tip: fix the required elements first, then count the choices for the remaining elements using \(2^n\).