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Subjects
Class 12 Mathematics Relations and Functions Onto function Expert Level 25

यदि (f:\mathbb{R}\to(0,1)), (f(x)=\frac{1}{1+e^x}), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?

If (f:\mathbb{R}\to(0,1)), (f(x)=\frac{1}{1+e^x}), is (f) onto or not?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published:
Correct answer and explanation
Correct Answer

B. सर्वाच्छादक हैIt is onto

Step 1

Concept

हर (x) के लिए \(e^x>0\), इसलिए मान (0) और (1) के बीच रहता है। / For every (x), \(e^x>0\), so the value lies between (0) and (1).

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी (0<y<1) के लिए \(e^x=\frac{1-y}{y}\), अतः \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) वास्तविक है। / For any (0<y<1), \(e^x=\frac{1-y}{y}\), so \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) is real.

Step 3

Exam Tip

खुले अंतराल में अंतिम बिंदु चाहिए ही नहीं, इसलिए भ्रम न करें। / In an open interval codomain, endpoints are not required.

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यदि (f:\mathbb{R}\to(0,1)), (f(x)=\frac{1}{1+e^x}), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं? / If (f:\mathbb{R}\to(0,1)), (f(x)=\frac{1}{1+e^x}), is (f) onto or not?

Correct Answer: B. सर्वाच्छादक है / It is onto. Explanation: चरण 1: हर (x) के लिए \(e^x>0\), इसलिए मान (0) और (1) के बीच रहता है। चरण 2: किसी भी (0<y<1) के लिए \(e^x=\frac{1-y}{y}\), अतः \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) वास्तविक है। चरण 3: खुले अंतराल में अंतिम बिंदु चाहिए ही नहीं, इसलिए भ्रम न करें। / Step 1: For every (x), \(e^x>0\), so the value lies between (0) and (1). Step 2: For any (0<y<1), \(e^x=\frac{1-y}{y}\), so \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) is real. Step 3: In an open interval codomain, endpoints are not required.

Why is option B correct in this Mathematics MCQ?

किसी भी (0<y<1) के लिए \(e^x=\frac{1-y}{y}\), अतः \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) वास्तविक है। / For any (0<y<1), \(e^x=\frac{1-y}{y}\), so \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) is real.

What should I remember for this Mathematics concept?

खुले अंतराल में अंतिम बिंदु चाहिए ही नहीं, इसलिए भ्रम न करें। / In an open interval codomain, endpoints are not required.