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Subjects
Class 12 Mathematics Inverse Trigonometric Functions Properties of inverse trigonometric functions Medium Level 32

f(x)=\cos^{-1}x अपने domain \([-1,1]\) पर किस प्रकार का फलन है?

What type of function is f(x)=\cos^{-1}x on its domain \([-1,1]\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. घटतीdecreasing

Explanation

Simple Explanation

f(x)=\cos^{-1}x के लिए \\( \frac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}<0 \\) for x\in(-1,1). अवकलज नकारात्मक होने से फलन घटता है। सीमाओं पर भी \(\cos^{-1}(-1)=\pi\) और \(\cos^{-1}(1)=0\) आता है, अतः पूरे बंद अंतराल \([-1,1]\) पर यह घटता क्रम में है। विकल्प 'बढ़ती' गलत है क्योंकि अवकलज का चिन्ह नकारात्मक है; 'स्थिर' व 'आवर्त' भी उपयुक्त नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: तुरंत monotonicity जाँचने के लिए अवकलज ज्ञात करें या याद रखें कि \(\cos\theta\) मुख्य-श्रेणी \([0,\pi]\) पर घटता है, अतः inverse घटेगा। / For f(x)=\cos^{-1}x, \\( \frac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}<0 \\) for x in (-1,1). A negative derivative implies the function is decreasing. At endpoints, \(\cos^{-1}(-1)=\pi\) and \(\cos^{-1}(1)=0\), so the function decreases over the whole closed interval [-1,1]. 'Increasing' is wrong because the derivative is negative; 'constant' and 'periodic' are also not applicable. Exam tip: test monotonicity by checking the sign of the derivative or recall that \(\cos\theta\) is decreasing on [0,\pi], so its inverse is decreasing on [-1,1].

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f(x)=\cos^{-1}x अपने domain \([-1,1]\) पर किस प्रकार का फलन है? / What type of function is f(x)=\cos^{-1}x on its domain \([-1,1]\)?

Correct Answer: B. घटती / decreasing. Explanation: f(x)=\cos^{-1}x के लिए \\( \frac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}<0 \\) for x\in(-1,1). अवकलज नकारात्मक होने से फलन घटता है। सीमाओं पर भी \(\cos^{-1}(-1)=\pi\) और \(\cos^{-1}(1)=0\) आता है, अतः पूरे बंद अंतराल \([-1,1]\) पर यह घटता क्रम में है। विकल्प 'बढ़ती' गलत है क्योंकि अवकलज का चिन्ह नकारात्मक है; 'स्थिर' व 'आवर्त' भी उपयुक्त नहीं हैं। परीक्षा सुझाव: तुरंत monotonicity जाँचने के लिए अवकलज ज्ञात करें या याद रखें कि \(\cos\theta\) मुख्य-श्रेणी \([0,\pi]\) पर घटता है, अतः inverse घटेगा। / For f(x)=\cos^{-1}x, \\( \frac{d}{dx}\cos^{-1}x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}<0 \\) for x in (-1,1). A negative derivative implies the function is decreasing. At endpoints, \(\cos^{-1}(-1)=\pi\) and \(\cos^{-1}(1)=0\), so the function decreases over the whole closed interval [-1,1]. 'Increasing' is wrong because the derivative is negative; 'constant' and 'periodic' are also not applicable. Exam tip: test monotonicity by checking the sign of the derivative or recall that \(\cos\theta\) is decreasing on [0,\pi], so its inverse is decreasing on [-1,1].