यदि किसी समुच्चय के 15 उचित उपसमुच्चय हैं तो उसके पावर समुच्चय में कितने अवयव होंगे?

Correct Answer: B. 16. Explanation: यदि किसी समुच्चय में n अवयव हैं तो उसके पावर समुच्चय में कुल अवयवों की संख्या \\(2^n\\) होती है और उचित उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n-1\\) होती है। प्रश्न के अनुसार \\(2^n-1=15\\) है, अतः \\(2^n=16\\)। इसलिए पावर समुच्चय में \\(16\\) अवयव होंगे। गलत विकल्पों का संक्षेप: 15 वह संख्या है जो प्रश्न में पहले से दी गई है (यह केवल उचित उपसमुच्चयों की संख्या है, पावर सेट का नहीं)। 31 उस स्थिति के लिए सही होता यदि \\(2^n-1=31\\) अर्थात् \\(n=5\\) होता — लेकिन यहाँ दिया 15 है। 30 असंभव है क्योंकि \\(2^n\\) कभी 30 नहीं हो सकता (30 किसी भी पूर्णांक n के लिए शक्ति-2 नहीं है)। परीक्षा टिप: पावर सेट = \\(2^n\\), उचित उपसमुच्चय = \\(2^n-1\\)। यह फार्मूला तुरंत याद रखें। / For a set with n elements the power set size is \(2^n\) and the number of proper subsets is \(2^n-1\). Given \(2^n-1=15\), so \(2^n=16\). Therefore the power set contains 16 elements. Why other choices are wrong: 15 is the given number of proper subsets (not the power set size). 31 would be the number of proper subsets when \(n=5\) because \(2^5-1=31\), which does not match the given 15. 30 is impossible because \(2^n\) cannot equal 30 for any integer n (30 is not a power of two). Exam tip: remember power set = \(2^n\) and proper subsets = \(2^n-1\); use these to form a simple equation from the given data.