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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Medium Level 9

यदि \(A=\{0,1,2,3\}\) है तो \(A\) के सभी उपसमुच्चयों में कुल कितनी बार अवयव \(0\) आएगा?

If \(A=\{0,1,2,3\}\), then in all subsets of \(A\), how many times will the element \(0\) appear in total?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

C. 8

Explanation

Simple Explanation

समुच्चय \(A\) में कुल 4 अवयव हैं। किसी निश्चित अवयव (यहाँ \(0\)) को शामिल करने वाले प्रत्येक उपसमुच्चय में शेष के तीन अवयवों में से प्रत्येक को शामिल या बहिष्कृत किया जा सकता है। इसलिए विकल्पों की संख्या \(2^3=8\) होगी और अवयव \(0\) कुल 8 बार आएगा। विकल्प 16 गलत है क्योंकि वह सभी उपसमुच्चयों की कुल संख्या \(2^4\) है और उन उपसमुच्चयों को भी गिनती करता है जिनमें \(0\) नहीं है। परीक्‍्षा टिप: किसी भी \(n\)- अवयव वाले समुच्चय में कोई भी निश्चित अवयव \(2^{n-1}\) उपसमुच्चयों में आता है। / Set \(A\) has 4 elements. For a fixed element (here \(0\)), each of the other three elements can be either present or absent in a subset, giving \(2^3=8\) subsets that contain \(0\). Thus \(0\) appears 8 times in total. Option 16 is incorrect because it is the total number of subsets \(2^4\), which also counts subsets without \(0\). Exam tip: An element of an \(n\)-element set appears in exactly \(2^{n-1}\) subsets.

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Correct Answer: C. 8. Explanation: समुच्चय \(A\) में कुल 4 अवयव हैं। किसी निश्चित अवयव (यहाँ \(0\)) को शामिल करने वाले प्रत्येक उपसमुच्चय में शेष के तीन अवयवों में से प्रत्येक को शामिल या बहिष्कृत किया जा सकता है। इसलिए विकल्पों की संख्या \(2^3=8\) होगी और अवयव \(0\) कुल 8 बार आएगा। विकल्प 16 गलत है क्योंकि वह सभी उपसमुच्चयों की कुल संख्या \(2^4\) है और उन उपसमुच्चयों को भी गिनती करता है जिनमें \(0\) नहीं है। परीक्‍्षा टिप: किसी भी \(n\)- अवयव वाले समुच्चय में कोई भी निश्चित अवयव \(2^{n-1}\) उपसमुच्चयों में आता है। / Set \(A\) has 4 elements. For a fixed element (here \(0\)), each of the other three elements can be either present or absent in a subset, giving \(2^3=8\) subsets that contain \(0\). Thus \(0\) appears 8 times in total. Option 16 is incorrect because it is the total number of subsets \(2^4\), which also counts subsets without \(0\). Exam tip: An element of an \(n\)-element set appears in exactly \(2^{n-1}\) subsets.