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In this Class 11 Mathematics topic, students learn how a relation connects elements of one set with elements of another, building the foundation for the chapter Relations and Functions. The topic introduces ordered pairs, Cartesian products, and the representation of relations as subsets of a Cartesian product. Students also examine the domain, codomain, and range of a relation and learn to interpret relations through rosters, diagrams, and set notation, preparing them to distinguish relations from functions.
Expert · Level 6 · 15 questions
Practice questions
01On (\mathbb{R}), (aRb) if and only if (a-b>0). Which property of (R) is correct?(\mathbb{R}) पर (aRb) तभी जब (a-b>0)। (R) की कौन सी property सही है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. Irreflexive and transitiveअप्रतिवर्ती और संक्रामी
Since (a-a=0), (aRa) is never true, so it is irreflexive. If (a>b) and (b>c), then (a>c), so it is transitive.(a-a=0) होने से (aRa) कभी सत्य नहीं, इसलिए irreflexive है। यदि (a>b) और (b>c), तो (a>c), इसलिए transitive है।
02On (\mathbb{R}), (aRb) if and only if (a^3\leq b^3). This relation is equivalent to which relation?(\mathbb{R}) पर (aRb) तभी जब (a^3\leq b^3)। यह relation किस relation के समान है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. (a\leq b)(a\leq b)
The function (x^3) is strictly increasing, so (a^3\leq b^3) is exactly equivalent to (a\leq b). Use monotonicity to identify relation properties quickly.Function (x^3) strictly increasing है, इसलिए (a^3\leq b^3) exactly (a\leq b) के बराबर है। Monotonicity से relation की property जल्दी पहचानें।
03On (\mathbb{N}), (aRb) if and only if (a+b) is odd. What is the correct statement about (R)?(\mathbb{N}) पर (aRb) तभी जब (a+b) विषम हो। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. Symmetric but not reflexiveसममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं
Addition is commutative, so the relation is symmetric. But (a+a=2a) is always even, so (aRa) never holds.योग commutative है, इसलिए relation symmetric है। पर (a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए (aRa) कभी नहीं होता।
04On (A={1,2,3,4}), (aRb) if and only if (a\neq b). Which statement about (R) is correct?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (aRb) तभी जब (a\neq b)। (R) के बारे में कौन सा कथन सही है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. Symmetric but not transitiveसममित लेकिन संक्रामी नहीं
If (a\neq b), then (b\neq a), so it is symmetric. But (1R2) and (2R1) hold while (1R1) does not, so it is not transitive.यदि (a\neq b), तो (b\neq a), इसलिए symmetric है। लेकिन (1R2) और (2R1) हैं, फिर भी (1R1) नहीं, इसलिए transitive नहीं।
05On (A={1,2,3}), relation (R={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(1,3),(3,3)}) is given. Which familiar order does this relation resemble?(A={1,2,3}) पर relation (R={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(1,3),(3,3)}) है। यह relation किस familiar order जैसा है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. (a\leq b)(a\leq b)
The given pairs are exactly those where the first element is less than or equal to the second. Thus it is the usual order (\leq) on (A).दिए गए pairs वही हैं जिनमें पहला अवयव दूसरे से छोटा या बराबर है। इसलिए यह (A) पर usual order (\leq) है।
06Which pair is compulsory in the transitive closure of a relation (R), if (R) contains ((1,2)) and ((2,4))?किसी relation (R) को transitive closure बनाने के लिए कौन सा pair अनिवार्य है, यदि (R) में ((1,2)) और ((2,4)) हैं?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. ((1,4))((1,4))
By transitivity, ((1,2)) and ((2,4)) force ((1,4)). A closure adds the minimum necessary pairs.Transitivity के अनुसार ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) होना जरूरी है। Closure में minimum necessary pairs जोड़े जाते हैं।
07On (A={1,2,3,4}), (R={(1,2),(2,3),(3,4)}). What is the minimum number of new pairs needed in the transitive closure of (R)?समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(1,2),(2,3),(3,4)}) है। (R) की transitive closure में न्यूनतम कितने नए pairs जोड़ने होंगे?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. (3)(3)
The pairs to add are ((1,3),(2,4),(1,4)). Note that newly added ((1,3)) with ((3,4)) also requires ((1,4)).जोड़ने वाले pairs ((1,3),(2,4),(1,4)) हैं। ध्यान रखें कि newly added ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी चाहिए।
08On (A={1,2,3}), (R={(1,2),(2,1)}). Which pairs will be added in the reflexive closure?समुच्चय (A={1,2,3}) पर (R={(1,2),(2,1)}) है। reflexive closure में कौन से pairs जोड़े जाएंगे?
In a reflexive closure, ((a,a)) must be present for every (a\in A). Therefore all three diagonal pairs are added.Reflexive closure में हर (a\in A) के लिए ((a,a)) होना जरूरी है। इसलिए तीनों diagonal pairs जोड़े जाएंगे।
09On (A={1,2,3}), (R={(1,2),(2,3)}). Which pairs will be added in the symmetric closure?समुच्चय (A={1,2,3}) पर (R={(1,2),(2,3)}) है। symmetric closure में कौन से pairs जोड़े जाएंगे?
In a symmetric closure, ((b,a)) is added for every ((a,b)). Thus ((2,1)) is needed for ((1,2)), and ((3,2)) for ((2,3)).Symmetric closure में हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) जोड़ा जाता है। इसलिए ((1,2)) के लिए ((2,1)) और ((2,3)) के लिए ((3,2)) चाहिए।
10On (A={1,2,3}), (R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)}). Is (R) antisymmetric?समुच्चय (A={1,2,3}) पर (R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)}) है। क्या (R) antisymmetric है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. Yes, because no distinct reverse pair appears togetherहाँ, क्योंकि कोई distinct reverse pair साथ में नहीं है
Antisymmetry is not affected by diagonal pairs. It fails only when ((a,b)) and ((b,a)) both occur for (a\neq b).Antisymmetry को diagonal pairs से समस्या नहीं होती। समस्या तभी होती है जब (a\neq b) पर ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों।
11On (A={1,2,3,4,5,6}), (aRb) if and only if (a) and (b) have the same greatest prime factor. What kind of relation is it?समुच्चय (A={1,2,3,4,5,6}) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) का समान greatest prime factor हो। यह relation कैसी है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. Equivalence relationतुल्यता संबंध
Having the same greatest prime factor behaves like equality, so it is reflexive, symmetric, and transitive. Such same invariant conditions often give equivalence relations.एक ही greatest prime factor होना equality जैसी condition है, इसलिए reflexive, symmetric और transitive है। ऐसी same invariant वाली conditions अक्सर equivalence relation देती हैं।
12On (\mathbb{R}), (aRb) if and only if (a-b) is rational. How are the equivalence classes of (R) formed?(\mathbb{R}) पर (aRb) तभी जब (a-b) परिमेय है। (R) के equivalence classes किस प्रकार बनते हैं?
(xRa) means (x-a\in\mathbb{Q}), so (x=a+q) where (q\in\mathbb{Q}). When writing a class, solve the relation condition for the variable.(xRa) का अर्थ (x-a\in\mathbb{Q}), यानी (x=a+q) जहाँ (q\in\mathbb{Q})। Class लिखते समय variable को relation condition से निकालें।
13On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a+b\leq6}). Choose the correct option about (R).समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a+b\leq6}) है। (R) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. Symmetric but not reflexiveसममित लेकिन प्रतिवर्ती नहीं
Since (a+b=b+a), the relation is symmetric. But ((4,4)\notin R) because (4+4\leq6) is false, so it is not reflexive.(a+b=b+a), इसलिए relation symmetric है। पर ((4,4)\notin R) क्योंकि (4+4\leq6) गलत है, इसलिए reflexive नहीं।
14If (R) and (S) are both equivalence relations on (A), which statement about (R\cap S) is always true?यदि (R) और (S) दोनों (A) पर equivalence relations हैं, तो (R\cap S) के बारे में कौन सा कथन हमेशा सही है?
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Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर:A. (R\cap S) is also an equivalence relation(R\cap S) भी equivalence relation है
The intersection retains common diagonal pairs, and symmetry and transitivity are also preserved. Hence the intersection of equivalence relations is again an equivalence relation.Intersection में common diagonal pairs रहते हैं और symmetry तथा transitivity भी preserve होती हैं। इसलिए equivalence relations का intersection फिर equivalence relation होता है।
15On the set \(A=\{1,2,3,4\}\), define relation \(R\) by \((a,b)\in R\) if and only if \(a+b\) is even. Find the equivalence classes of \(R\).\(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R\) इस प्रकार परिभाषित है कि \((a,b)\in R\) यदि और केवल यदि \(a+b\) सम (even) है। \(R\) की समतुल्यता वर्ग (equivalence classes) ज्ञात कीजिए।
An integer sum \(a+b\) is even if both \(a\) and \(b\) are even or both are odd. So odd numbers in \(A\) relate to odd numbers: \(1+3=4\) is even, and \(3+1=4\) is even. Similarly, even numbers relate to even numbers: \(2+4=6\) is even. Therefore the equivalence class containing \(1\) is \(\{1,3\}\) and the equivalence class containing \(2\) is \(\{2,4\}\).दो संख्याओं का योग \(a+b\) सम (even) तभी होता है जब \(a\) और \(b\) दोनों सम हों या दोनों विषम (odd) हों। इसलिए \(A\) में विषम संख्याएँ आपस में संबंध रखती हैं: \(1+3=4\) सम है, और \(3+1=4\) भी सम है। इसी प्रकार सम संख्याएँ आपस में संबंध रखती हैं: \(2+4=6\) सम है। अतः \(1\) वाला समतुल्यता वर्ग \(\{1,3\}\) है और \(2\) वाला समतुल्यता वर्ग \(\{2,4\}\) है।
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