Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(5) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (5!) होती है। परीक्षा में अलग-अलग वस्तुओं के लिए factorial लगाएं। / The arrangement of (5) distinct objects is (5!). In exams, use factorial for distinct objects.
यहाँ पद अलग हैं इसलिए क्रम महत्त्वपूर्ण है और उत्तर \({}^{6}P_{3}=120\) है। परीक्षा में पद अलग हों तो permutation लें। / Here the posts are different, so order matters and the answer is \({}^{6}P_{3}=120\). In exams, use permutation when posts are distinct.
(CAT) में (3) अलग अक्षर हैं इसलिए (3!=6) शब्द बनेंगे। छोटे शब्दों में सभी अक्षरों की व्यवस्था सीधे factorial से करें। / The word (CAT) has (3) distinct letters, so (3!=6) words are possible. For small words, arrange all letters using factorial.
(4) अलग झंडों की व्यवस्था (4!=24) होती है। सीधी रेखा में लगाना linear permutation है। / The arrangement of (4) distinct flags is (4!=24). Placing in a straight line is a linear permutation.
\({}^{7}P_{2}=7\times6=42\) होता है। छोटे (r) के लिए घटते हुए (r) गुणनखंड लें। / \({}^{7}P_{2}=7\times6=42\). For small (r), multiply (r) decreasing factors.
कप्तान और उपकप्तान अलग पद हैं इसलिए \({}^{8}P_{2}=56\) होगा। जब जिम्मेदारी अलग हो तो क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / Captain and vice-captain are distinct posts, so \({}^{8}P_{2}=56\). When roles differ, order matters.
तीनों अलग अंकों की व्यवस्था (3!=6) है। बिना पुनरावृत्ति में हर स्थान के विकल्प घटते हैं। / The arrangement of three distinct digits is (3!=6). Without repetition, choices decrease place by place.
(5) लोगों को (5) स्थानों पर बैठाने के तरीके (5!=120) हैं। seating in a row में factorial याद रखें। / The number of ways to seat (5) people in (5) places is (5!=120). Remember factorial for seating in a row.
\({}^{n}P_{1}=n\) होता है इसलिए \({}^{5}P_{1}=5\)। एक वस्तु चुनकर व्यवस्थित करने में (n) तरीके होते हैं। / Since \({}^{n}P_{1}=n\), \({}^{5}P_{1}=5\). Choosing and arranging one object gives (n) ways.
(DOG) में (3) अलग अक्षर हैं इसलिए (3!=6) व्यवस्थाएँ हैं। अक्षर अलग हों तो सीधे factorial प्रयोग करें। / The word (DOG) has (3) distinct letters, so there are (3!=6) arrangements. Use factorial when letters are distinct.
उत्तर \({}^{9}P_{2}=9\times8=72\) है। पहले स्थान के बाद दूसरा विकल्प एक कम हो जाता है। / The answer is \({}^{9}P_{2}=9\times8=72\). After the first place, the second choice decreases by one.
प्रथम और द्वितीय स्थान क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{7}P_{2}=42\) होगा। रैंकिंग में permutation लगता है। / First and second places are ordered, so \({}^{7}P_{2}=42\). Ranking questions use permutation.
\({}^{6}P_{3}=6\times5\times4=120\) है। (r=3) हो तो तीन घटते गुणनखंड लें। / \({}^{6}P_{3}=6\times5\times4=120\). When (r=3), take three decreasing factors.
पुरस्कार अलग हैं और विद्यार्थी दोहराए नहीं जा सकते इसलिए \({}^{5}P_{3}=60\)। अलग पुरस्कारों के वितरण में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The prizes are distinct and students cannot repeat, so \({}^{5}P_{3}=60\). Distribution of distinct prizes makes order important.
(MATH) में (4) अलग अक्षर हैं इसलिए (4!=24)। सभी अलग अक्षरों की पूरी व्यवस्था factorial से मिलती है। / The word (MATH) has (4) distinct letters, so (4!=24). Full arrangement of distinct letters is found by factorial.
\({}^{n}P_{0}=1\) होता है क्योंकि कोई वस्तु न चुनने का एक तरीका होता है। यह standard result याद रखें। / \({}^{n}P_{0}=1\) because there is one way to choose nothing. Remember this standard result.
दो विशेष सीटों पर क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{4}P_{2}=12\)। सीटें अलग हों तो permutation लें। / Order matters on two special seats, so \({}^{4}P_{2}=12\). If seats are distinct, use permutation.
उत्तर \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\) है। चुनना और क्रम में रखना permutation है। / The answer is \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\). Choosing and arranging in order is permutation.
एक स्थान के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए उत्तर (5) है। (1)-स्थान वाली व्यवस्था में उपलब्ध विकल्प ही उत्तर होते हैं। / There are (5) choices for one place, so the answer is (5). For a one-place arrangement, available choices are the answer.
(SUN) में (3) अलग अक्षर हैं इसलिए (3!=6)। छोटे शब्दों में अक्षर गिनकर factorial लगाएं। / The word (SUN) has (3) distinct letters, so (3!=6). Count the letters and apply factorial for small words.
\({}^{n}P_{1}=n\) होता है इसलिए \({}^{10}P_{1}=10\)। एक पद की व्यवस्था में सीधे (n) लिखें। / Since \({}^{n}P_{1}=n\), \({}^{10}P_{1}=10\). For one position, write (n) directly.
पहले स्थान के लिए (6) और दूसरे के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए \(6\times5=30\)। स्थान अलग-अलग हों तो क्रम गिनें। / There are (6) choices for the first position and (5) for the second, so \(6\times5=30\). Count order when positions are distinct.
यह \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\) है। कार्डों का क्रम बदलने से व्यवस्था बदलती है। / This is \({}^{5}P_{3}=5\times4\times3=60\). Changing the order of cards changes the arrangement.
दो समान (O) होने से व्यवस्थाएँ \(\frac{4!}{2!}=12\) होंगी। समान वस्तुओं के लिए factorial से भाग दें। / Because two (O)'s are identical, arrangements are \(\frac{4!}{2!}=12\). For identical objects, divide by their factorial.
यह \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\) है। पंक्ति में खड़ा करना ordered arrangement है। / This is \({}^{4}P_{3}=4\times3\times2=24\). Standing in a row is an ordered arrangement.
(6) अलग गेंदों की व्यवस्था (6!=720) है। सभी वस्तुएँ अलग हों तो कुल व्यवस्था factorial होती है। / The arrangement of (6) distinct balls is (6!=720). If all objects are distinct, total arrangements are factorial.
दहाई स्थान पर (0) नहीं आ सकता इसलिए (2) विकल्प और इकाई पर (2) विकल्प हैं, कुल (4)। संख्या बनाते समय पहले स्थान पर (0) की जाँच करें। / Zero cannot be in the tens place, so there are (2) choices for tens and (2) for units, total (4). In number formation, check zero in the first place.
\({}^{n}P_{0}=1\) इसलिए \({}^{8}P_{0}=1\)। शून्य वस्तुओं की arrangement एक मानी जाती है। / \({}^{n}P_{0}=1\), so \({}^{8}P_{0}=1\). The arrangement of zero objects is counted as one.
(3) अलग सिक्कों की व्यवस्था (3!=6) है। अलग objects की पूरी arrangement factorial से करें। / The arrangement of (3) distinct coins is (3!=6). Use factorial for full arrangement of distinct objects.
दो अलग पद हैं इसलिए \({}^{10}P_{2}=10\times9=90\)। अलग designation में order महत्त्वपूर्ण होता है। / There are two distinct posts, so \({}^{10}P_{2}=10\times9=90\). Order matters for different designations.
(RAVI) में (4) अलग अक्षर हैं इसलिए (4!=24)। सभी distinct letters हों तो factorial लगाएं। / The word (RAVI) has (4) distinct letters, so (4!=24). Apply factorial when all letters are distinct.
पहले पीरियड के लिए (6) और दूसरे के लिए (5) विकल्प हैं इसलिए (30)। timetable order में permutation लगता है। / There are (6) choices for the first period and (5) for the second, so (30). Timetable order uses permutation.
तीन स्थानों के लिए \(4\times3\times2=24\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में हर अगले स्थान पर विकल्प घटता है। / For three places, there are \(4\times3\times2=24\) ways. Without repetition, choices decrease at each next place.
यह \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\) है। शेल्फ पर क्रम बदलने से व्यवस्था बदलती है। / This is \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\). Changing order on a shelf changes the arrangement.
व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!2!}=30\) होंगी। समान अक्षरों के factorial से भाग देना न भूलें। / The arrangements are \(\frac{5!}{2!2!}=30\). Do not forget to divide by factorials of identical letters.
तीन rank क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{5}P_{3}=60\)। rank वाले प्रश्नों में combination नहीं, permutation लें। / The three ranks are ordered, so \({}^{5}P_{3}=60\). In rank questions, use permutation, not combination.
(3) अलग खिलौनों की arrangements (3!=6) हैं। सभी objects अलग हों तो total arrangements factorial होती हैं। / The arrangements of (3) distinct toys are (3!=6). If all objects are distinct, total arrangements are factorial.
उत्तर \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\) है। मंच पर बायाँ-दायाँ क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The answer is \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\). Left-right order on a stage is important.
\({}^{3}P_{2}=3\times2=6\) है। छोटे permutation में सीधे घटते गुणनखंड लिखें। / \({}^{3}P_{2}=3\times2=6\). In small permutations, write decreasing factors directly.
सीधी सूची में (5) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (5!=120) है। यहाँ circular counting नहीं करनी है। / In a straight list, the arrangement of (5) distinct objects is (5!=120). Do not use circular counting here.
बाएँ से दाएँ क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए (4!=24)। क्रम बदलते ही arrangement बदल जाती है। / Left-to-right order matters, so (4!=24). Changing the order changes the arrangement.
(5) अक्षरों से (2) ordered positions के लिए \({}^{5}P_{2}=20\)। ordered pairs में ((P,Q)) और ((Q,P)) अलग होते हैं। / For (2) ordered positions from (5) letters, \({}^{5}P_{2}=20\). In ordered pairs, ((P,Q)) and ((Q,P)) are different.
कुल अक्षर (4) हैं और (O) दो समान हैं इसलिए \(\frac{4!}{2!}=12\)। repeated letters में denominator लगाएं। / There are (4) letters and two identical (O)'s, so \(\frac{4!}{2!}=12\). Use a denominator for repeated letters.
उत्तर \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\) है। चुनी गई पुस्तकों का क्रम बदलने से तरीका बदलता है। / The answer is \({}^{8}P_{3}=8\times7\times6=336\). Changing the order of selected books changes the way.
\({}^{6}P_{3}=6\times5\times4=120\) होता है। क्रम वाली व्यवस्था में permutation लगाएं। / \({}^{6}P_{3}=6\times5\times4=120\). Use permutation for ordered arrangements.
पहले स्थान के लिए (4) और दूसरे के लिए (3) विकल्प हैं, इसलिए \(4\times3=12\)। पासवर्ड में स्थान बदलने से arrangement बदलती है। / There are (4) choices for the first place and (3) for the second, so \(4\times3=12\). In passwords, changing positions changes the arrangement.
