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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Easy Level 20

यदि \(A^c=\varnothing\) है, तो \(A\) किसके बराबर होगा?

If \(A^c=\varnothing\), then \(A\) is equal to what?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(U\)

Explanation

Simple Explanation

परिभाषा के अनुसार किसी समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\) वह समुच्चय है जिसमें सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) के वे सभी तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। यदि \(A^c=\varnothing\) है तो इसका अर्थ है कि \(U\) का कोई भी तत्व \(A\) के बाहर नहीं है; यानी \(A\) में सार्वभौमिक समुच्चय के सभी तत्व आ जाते हैं। अतः \(A=U\)। गलतीयां: विकल्प \(\varnothing\) तब गलत है क्योंकि यदि \(A=\varnothing\) होता तो \(A^c=U\) होता न कि \(\varnothing\)। विकल्प \(U^c\) भी खाली समुच्चय है पर वह \(A\) नहीं हो सकता;\(U^c=\varnothing\) हमेशा होता है पर इससे \(A\) की जानकारी नहीं बनती। परीक्षा टिप: याद रखें \(A\cup A^c=U\) और \(A\cap A^c=\varnothing\); अगर \(A^c\) खाली है तो \(A\) स्वतः \(U\) होगा। / By definition, the complement \(A^c\) is the set of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). If \(A^c=\varnothing\), there are no elements of \(U\) outside \(A\); therefore \(A\) contains every element of \(U\), i.e. \(A=U\). Why other choices fail: \(\varnothing\) would imply \(A\) is empty, which would make \(A^c=U\), not \(\varnothing\). \(U^c\) denotes the complement of \(U\), which is always \(\varnothing\) but does not equal \(A\) unless the universe is empty (degenerate case). Exam tip: use identities \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\); if \(A^c\) is empty then \(A=U\).

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यदि \(A^c=\varnothing\) है, तो \(A\) किसके बराबर होगा? / If \(A^c=\varnothing\), then \(A\) is equal to what?

Correct Answer: A. \(U\). Explanation: परिभाषा के अनुसार किसी समुच्चय \(A\) का पूरक \(A^c\) वह समुच्चय है जिसमें सार्वभौमिक समुच्चय \(U\) के वे सभी तत्व होते हैं जो \(A\) में नहीं हैं। यदि \(A^c=\varnothing\) है तो इसका अर्थ है कि \(U\) का कोई भी तत्व \(A\) के बाहर नहीं है; यानी \(A\) में सार्वभौमिक समुच्चय के सभी तत्व आ जाते हैं। अतः \(A=U\)। गलतीयां: विकल्प \(\varnothing\) तब गलत है क्योंकि यदि \(A=\varnothing\) होता तो \(A^c=U\) होता न कि \(\varnothing\)। विकल्प \(U^c\) भी खाली समुच्चय है पर वह \(A\) नहीं हो सकता;\(U^c=\varnothing\) हमेशा होता है पर इससे \(A\) की जानकारी नहीं बनती। परीक्षा टिप: याद रखें \(A\cup A^c=U\) और \(A\cap A^c=\varnothing\); अगर \(A^c\) खाली है तो \(A\) स्वतः \(U\) होगा। / By definition, the complement \(A^c\) is the set of all elements of the universal set \(U\) that are not in \(A\). If \(A^c=\varnothing\), there are no elements of \(U\) outside \(A\); therefore \(A\) contains every element of \(U\), i.e. \(A=U\). Why other choices fail: \(\varnothing\) would imply \(A\) is empty, which would make \(A^c=U\), not \(\varnothing\). \(U^c\) denotes the complement of \(U\), which is always \(\varnothing\) but does not equal \(A\) unless the universe is empty (degenerate case). Exam tip: use identities \(A\cup A^c=U\) and \(A\cap A^c=\varnothing\); if \(A^c\) is empty then \(A=U\).