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\(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\)। फैक्टोरियल में संख्या से (1) तक गुणा करते हैं। / \(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\). In factorial notation, multiply the number down to (1).
गणित में (0!=1) परिभाषित किया जाता है। यह संयोजन और क्रमचय सूत्रों में बहुत उपयोगी है। / In mathematics, (0!) is defined as (1). It is very useful in permutation and combination formulas.
(1!=1) और (3!=6), इसलिए योग (7) है। छोटे फैक्टोरियल पहले अलग-अलग निकालें। / (1!=1) and (3!=6), so the sum is (7). Find small factorials separately first.
\(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\)। समान फैक्टोरियल भाग को काटना सबसे तेज तरीका है। / \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\). Cancelling the common factorial part is the fastest method.
\(\frac{7!}{5!,2!}=\frac{7\times6}{2}=21\)। पहले बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक तोड़ें। / \(\frac{7!}{5!,2!}=\frac{7\times6}{2}=21\). Break the larger factorial down to the smaller factorial first.
(n!=n(n-1)!) सही पहचान है। फैक्टोरियल के सवालों में यह सूत्र बार-बार काम आता है। / (n!=n(n-1)!) is the correct identity. This formula is used often in factorial questions.
(4!=24) और (2!=2), इसलिए कुल (26) है। जोड़ने से पहले हर फैक्टोरियल का मान निकालें। / (4!=24) and (2!=2), so the total is (26). Find each factorial value before adding.
\(\frac{8!}{7!}=8\) क्योंकि \(8!=8\times7!\)। ऐसे प्रश्नों में फैक्टोरियल विस्तार छोटा रखें। / \(\frac{8!}{7!}=8\) because \(8!=8\times7!\). Keep the factorial expansion short in such questions.
\(9!=9\times8\times7\times6!\), इसलिए \(\frac{9!}{6!}=9\times8\times7\)। अंतिम शेष संख्या के बाद वाले फैक्टोरियल से भाग दें। / \(9!=9\times8\times7\times6!\), so \(\frac{9!}{6!}=9\times8\times7\). Divide by the factorial after the last required factor.
\(4!=4\times3\times2\times1=24\), इसलिए (n=4)। छोटे फैक्टोरियल के मान याद रखना उपयोगी है। / \(4!=4\times3\times2\times1=24\), so (n=4). Remembering small factorial values is useful.
\(\frac{5!}{3!}=5\times4=20\)। बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक लिखकर काटें। / \(\frac{5!}{3!}=5\times4=20\). Write the larger factorial up to the smaller factorial and cancel.
(3!=6) और (2!=2), इसलिए गुणनफल (12) है। फैक्टोरियल को सामान्य गुणा में बदलकर हल करें। / (3!=6) and (2!=2), so the product is (12). Convert factorials into ordinary multiplication to solve.
\(\frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12\)। फैक्टोरियल भाग को काटकर भी यही उत्तर मिलता है। / \(\frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12\). Cancelling the factorial part also gives the same answer.
\(\frac{6!}{3!,3!}=\frac{720}{6\times6}=20\)। हर फैक्टोरियल का मान सावधानी से रखें। / \(\frac{6!}{3!,3!}=\frac{720}{6\times6}=20\). Keep each factorial value carefully.
(5!=120) और (4!=24), इसलिए अंतर (96) है। घटाने से पहले दोनों फैक्टोरियल अलग निकालें। / (5!=120) and (4!=24), so the difference is (96). Find both factorials separately before subtracting.
(0!=1), (1!=1) और (2!=2), इसलिए योग (4) है। (0!) को (1) लेना न भूलें। / (0!=1), (1!=1), and (2!=2), so the sum is (4). Do not forget to take (0!) as (1).
\(\frac{10!}{8!}=10\times9=90\)। फैक्टोरियल काटने से गणना छोटी हो जाती है। / \(\frac{10!}{8!}=10\times9=90\). Cancelling factorials makes the calculation shorter.
(4!) का अर्थ \(4\times3\times2\times1\) है। फैक्टोरियल में जोड़ नहीं, गुणा होता है। / (4!) means \(4\times3\times2\times1\). Factorial uses multiplication, not addition.
(1) से (6) तक का गुणनफल (6!) होता है। फैक्टोरियल में क्रम उल्टा या सीधा लिखने से मान नहीं बदलता। / The product from (1) to (6) is (6!). In factorial multiplication, writing in reverse or forward order gives the same value.
किसी भी अशून्य समान संख्या का अपने आप से भाग (1) होता है। इसलिए \(\frac{9!}{9!}=1\) है। / Any non-zero quantity divided by itself is (1). Therefore, \(\frac{9!}{9!}=1\).
((n+1)!=(n+1)n!), इसलिए भाग देने पर (n+1) बचता है। फैक्टोरियल पहचान को याद रखें। / ((n+1)!=(n+1)n!), so division leaves (n+1). Remember the factorial identity.
\(\frac{7!}{6!,1!}=\frac{7\times6!}{6!\times1}=7\)। (1!) का मान (1) होता है। / \(\frac{7!}{6!,1!}=\frac{7\times6!}{6!\times1}=7\). The value of (1!) is (1).
(3!=6) और (4!=24), इसलिए योग (30) है। फैक्टोरियल को जोड़ने से पहले उसका मान निकालें। / (3!=6) and (4!=24), so the sum is (30). Find factorial values before adding them.
(6!=720) और (5!=120), इसलिए अंतर (600) है। बड़े फैक्टोरियल का मान ध्यान से लिखें। / (6!=720) and (5!=120), so the difference is (600). Write the value of the larger factorial carefully.
(2!=2) और (4!=24), इसलिए गुणनफल (48) है। पहले फैक्टोरियल मान निकालकर फिर गुणा करें। / (2!=2) and (4!=24), so the product is (48). First find factorial values and then multiply.
\(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\)। छोटे फैक्टोरियल तक विस्तार करके काटें। / \(\frac{8!}{5!}=8\times7\times6=336\). Expand down to the smaller factorial and cancel.
(5!=120) और (4!=24), इसलिए (5!) बड़ा है। बड़े धनात्मक पूर्णांक का फैक्टोरियल सामान्यतः बड़ा होता है। / (5!=120) and (4!=24), so (5!) is greater. The factorial of a larger positive integer is generally larger.
\(\frac{4!+3!}{3!}=\frac{24+6}{6}=5\)। जोड़ वाले अंश को पहले सरल करें। / \(\frac{4!+3!}{3!}=\frac{24+6}{6}=5\). Simplify the numerator with addition first.
\(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\)। फैक्टोरियल में संख्या घटती जाती है। / \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\). In factorial notation, the numbers decrease step by step.
(3!=6) और (0!=1), इसलिए गुणनफल (6) है। (0!) को (0) समझना सामान्य गलती है। / (3!=6) and (0!=1), so the product is (6). Treating (0!) as (0) is a common mistake.
\(\frac{6!}{2!,4!}=\frac{6\times5}{2}=15\)। बड़े फैक्टोरियल से छोटे फैक्टोरियल को काटें। / \(\frac{6!}{2!,4!}=\frac{6\times5}{2}=15\). Cancel the smaller factorial from the larger factorial.
\(6!=6\times5\times4!\), इसलिए दिया गया गुणनफल (6!) है। फैक्टोरियल को बीच से भी पहचाना जा सकता है। / \(6!=6\times5\times4!\), so the given product is (6!). A factorial can be identified from the middle expansion too.
\(5!=5\times4!\), इसलिए \(\frac{5!}{5}=4!=24\)। फैक्टोरियल में सामान्य गुणक काटें। / \(5!=5\times4!\), so \(\frac{5!}{5}=4!=24\). Cancel common factors in factorial expressions.
(4!=24) और (3!=6), इसलिए अंतर (18) है। फैक्टोरियल चिन्ह को साधारण घटाव न समझें। / (4!=24) and (3!=6), so the difference is (18). Do not treat the factorial sign as ordinary subtraction.
\(4!=4\times3\times2\times1=24\), इसलिए (x=24)। चर वाले सवाल में पहले फैक्टोरियल का मान निकालें। / \(4!=4\times3\times2\times1=24\), so (x=24). In variable-based questions, first evaluate the factorial.
\(5!=5\times4\times3!\), इसलिए दिया गया रूप (5!) है। फैक्टोरियल विस्तार को पहचानना जरूरी है। / \(5!=5\times4\times3!\), so the given form is (5!). Recognizing factorial expansion is important.
\(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\)। (5!=120) याद हो तो \(6!=6\times120\) करें। / \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1=720\). If you remember (5!=120), then use \(6!=6\times120\).
\(7!=7\times6!\), इसलिए \(\frac{7!}{7}=6!\)। फैक्टोरियल को गुणनखंड में तोड़कर काटें। / \(7!=7\times6!\), so \(\frac{7!}{7}=6!\). Break the factorial into factors and cancel.
(5!=120), इसलिए (n=5)। छोटे फैक्टोरियल मान परीक्षा में जल्दी उत्तर दिलाते हैं। / (5!=120), so (n=5). Small factorial values help answer quickly in exams.
पहले (3+1=4) करें, फिर (4!=24)। कोष्ठक के अंदर की गणना पहले होती है। / First calculate (3+1=4), then (4!=24). The expression inside the brackets is evaluated first.
(3!=6) और (0!=1), इसलिए योग (7) है। (0!) वाले सवाल में विशेष ध्यान रखें। / (3!=6) and (0!=1), so the sum is (7). Pay special attention in questions involving (0!).
\(\frac{2!+3!}{2!}=\frac{2+6}{2}=4\)। अंश में जोड़ पहले पूरा करें। / \(\frac{2!+3!}{2!}=\frac{2+6}{2}=4\). Complete the addition in the numerator first.
\(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\), इसमें (7) गुणक हैं। (n!) में (n) से (1) तक के गुणक आते हैं। / \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1\), which has (7) factors. In (n!), factors run from (n) down to (1).
\(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\)। बड़े क्रमगुणित को पिछले क्रमगुणित से गुणा करके निकालें। / \(7!=7\times6\times5\times4\times3\times2\times1=5040\). Find a larger factorial by multiplying the previous factorial.
\(8!=8\times7\times6!\) होता है। क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक तोड़ना आसान तरीका है। / \(8!=8\times7\times6!\). Breaking a factorial down to a smaller factorial is an easy method.
(6!=720) और (1!=1), इसलिए योग (721) है। जोड़ से पहले दोनों क्रमगुणित निकालें। / (6!=720) and (1!=1), so the sum is (721). Find both factorials before adding.
\(\frac{8!}{6!,2!}=\frac{8\times7}{2}=28\)। पहले बड़े क्रमगुणित को छोटे तक फैलाएं। / \(\frac{8!}{6!,2!}=\frac{8\times7}{2}=28\). Expand the larger factorial up to the smaller one first.
(n=4) रखने पर (n!=4!=24)। पहले चर का मान रखकर फिर क्रमगुणित निकालें। / Putting (n=4), (n!=4!=24). Substitute the variable first and then evaluate the factorial.
(2!=2), (4!=24) और (1!=1), इसलिए मान (25) है। क्रमगुणित को साधारण संख्याओं में बदलें। / (2!=2), (4!=24), and (1!=1), so the value is (25). Convert factorials into ordinary numbers.
\(\frac{10!}{9!}=10\) क्योंकि \(10!=10\times9!\)। ऐसे सवाल में पूरा विस्तार लिखने की जरूरत नहीं होती। / \(\frac{10!}{9!}=10\) because \(10!=10\times9!\). In such questions, full expansion is not needed.
(4!=24) और (3!=6), इसलिए गुणनफल (144) है। पहले प्रत्येक क्रमगुणित अलग निकालें। / (4!=24) and (3!=6), so the product is (144). First evaluate each factorial separately.
\(6!=6\times5\times4\times3!\), इसलिए दिया गया रूप (6!) है। विस्तार पहचानना क्रमगुणित प्रश्नों में जरूरी है। / \(6!=6\times5\times4\times3!\), so the given form is (6!). Recognizing expansions is important in factorial questions.
\(\frac{5!+4!}{4!}=\frac{120+24}{24}=6\)। अंश को सही तरह से जोड़कर भाग दें। / \(\frac{5!+4!}{4!}=\frac{120+24}{24}=6\). Add the numerator correctly and then divide.
(6!=720), इसलिए (n=6)। छोटे क्रमगुणित मान याद रखने से उत्तर जल्दी मिलता है। / (6!=720), so (n=6). Remembering small factorial values helps answer quickly.
(7!=5040) और (6!=720), इसलिए अंतर (4320) है। घटाते समय दोनों क्रमगुणित अलग लिखें। / (7!=5040) and (6!=720), so the difference is (4320). Write both factorials separately while subtracting.
\(\frac{6!}{5!}=6\) और (2!=2), इसलिए कुल (8) है। पहले भाग को सरल करें। / \(\frac{6!}{5!}=6\) and (2!=2), so the total is (8). Simplify the quotient first.
(3!=6), इसलिए \(3!\times3!=6\times6=36\)। समान क्रमगुणित को पहले एक बार निकालें। / (3!=6), so \(3!\times3!=6\times6=36\). Evaluate the repeated factorial once first.
\(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\)। छोटे क्रमगुणित को काटकर गणना कम करें। / \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5=210\). Cancel the smaller factorial to reduce calculation.
(1!=1), (2!=2) और (3!=6), इसलिए योग (9) है। क्रमगुणित को जोड़ने से पहले उनका मान निकालें। / (1!=1), (2!=2), and (3!=6), so the sum is (9). Evaluate factorials before adding them.
((n+3)!=(n+3)(n+2)!), इसलिए भाग देने पर (n+3) बचेगा। पास-पास वाले क्रमगुणित सीधे कटते हैं। / ((n+3)!=(n+3)(n+2)!), so division leaves (n+3). Nearby factorials cancel directly.
\(8!=8\times7\times6\times5!\) होता है। क्रमगुणित विस्तार को अंतिम फैक्टोरियल से जोड़ें। / \(8!=8\times7\times6\times5!\). Match the factorial expansion with the last factorial part.
\(\frac{4!+2!}{2!}=\frac{24+2}{2}=13\)। जोड़ वाले अंश को पहले पूरा करें। / \(\frac{4!+2!}{2!}=\frac{24+2}{2}=13\). Complete the addition in the numerator first.
\(5!\div3!=\frac{5!}{3!}=5\times4=20\)। भाग को भिन्न के रूप में लिखकर हल करें। / \(5!\div3!=\frac{5!}{3!}=5\times4=20\). Write division as a fraction to solve.
\(\frac{9!}{6!}=9\times8\times7=504\)। छोटे क्रमगुणित तक विस्तार करें और काटें। / \(\frac{9!}{6!}=9\times8\times7=504\). Expand down to the smaller factorial and cancel.
\(10!=10\times9\times8!\) होता है। बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित से जोड़कर लिखें। / \(10!=10\times9\times8!\). Write the larger factorial in terms of the smaller factorial.
((n+1)!=(n+1)n(n-1)!), इसलिए शेष (n(n+1)) है। समान क्रमगुणित भाग काटें। / ((n+1)!=(n+1)n(n-1)!), so the remaining part is (n(n+1)). Cancel the common factorial part.
(2!=2) और (5!=120), इसलिए गुणनफल (240) है। पहले क्रमगुणित मान निकालें। / (2!=2) and (5!=120), so the product is (240). First find the factorial values.
\(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\) और (0!=1), इसलिए कुल (31) है। (0!) को सही मान दें। / \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\) and (0!=1), so the total is (31). Use the correct value of (0!).
\(\frac{4!}{3!}=4\), इसलिए अनुपात (4:1) है। अनुपात के लिए दोनों पदों को (3!) से काटें। / \(\frac{4!}{3!}=4\), so the ratio is (4:1). For the ratio, cancel both terms by (3!).
(5!=120) और (3!=6), इसलिए अंतर (114) है। घटाव करते समय क्रमगुणित का मान पहले निकालें। / (5!=120) and (3!=6), so the difference is (114). Find factorial values before subtracting.
(3!+0!=6+1=7) और (1!=1), इसलिए मान (7) है। (0!) और (1!) दोनों (1) होते हैं। / (3!+0!=6+1=7) and (1!=1), so the value is (7). Both (0!) and (1!) are (1).
\(4!=4\times3\times2\times1=24\)। छोटे क्रमगुणित मान याद रखना उपयोगी है। / \(4!=4\times3\times2\times1=24\). Remembering small factorial values is useful.
\(10!=10\times9!\), इसलिए \(9!=\frac{10!}{10}\)। उलटा संबंध भी क्रमगुणित में काम आता है। / \(10!=10\times9!\), so \(9!=\frac{10!}{10}\). The reverse relation is also useful in factorials.
\(\frac{8!}{4!,4!}=\frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}=70\)। क्रमगुणित काटकर संख्या छोटी करें। / \(\frac{8!}{4!,4!}=\frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}=70\). Cancel factorials to make the numbers smaller.
\(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1\), इसमें (6) गुणक हैं। (n!) में (n) गुणक होते हैं। / \(6!=6\times5\times4\times3\times2\times1\), which has (6) factors. (n!) has (n) factors.
\(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\) और (1!=1), इसलिए कुल (43) है। पहले भाग को सरल करें। / \(\frac{7!}{5!}=7\times6=42\) and (1!=1), so the total is (43). Simplify the quotient first.
\(3!\times4!-4!=6\times24-24=120\)। समान पद (4!) को अलग लेकर भी हल कर सकते हैं। / \(3!\times4!-4!=6\times24-24=120\). You may also factor out the common term (4!).
(x=120) और (y=24), इसलिए (x-y=96)। चर को पहले उनके क्रमगुणित मान से बदलें। / (x=120) and (y=24), so (x-y=96). Replace variables by their factorial values first.
\(5!=5\times4\times3!\) होता है। बीच में रुककर छोटा क्रमगुणित लिखना सही है। / \(5!=5\times4\times3!\). It is correct to stop the expansion and write a smaller factorial.
\(\frac{11!}{10!}=11\) क्योंकि \(11!=11\times10!\)। लगातार क्रमगुणित आसानी से कटते हैं। / \(\frac{11!}{10!}=11\) because \(11!=11\times10!\). Consecutive factorials cancel easily.
(6!=720), (0!=1) और (1!=1), इसलिए मान (720) है। (0!) और (1!) दोनों बराबर हैं। / (6!=720), (0!=1), and (1!=1), so the value is (720). (0!) and (1!) are equal.
((n+4)!=(n+4)(n+3)!), इसलिए सरल रूप (n+4) है। क्रमगुणित में पास वाला भाग काटें। / ((n+4)!=(n+4)(n+3)!), so the simplified form is (n+4). Cancel the adjacent factorial part.
\(4!\div2!=12\) और (3!=6), इसलिए योग (18) है। भाग और क्रमगुणित दोनों को अलग-अलग सरल करें। / \(4!\div2!=12\) and (3!=6), so the sum is (18). Simplify the division and factorial separately.
\(9!=9\times8!\), इसलिए दिया गया रूप (9!) है। यह क्रमगुणित की मूल पहचान है। / \(9!=9\times8!\), so the given form is (9!). This is a basic factorial identity.
\(\frac{5!}{2!,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\)। हर क्रमगुणित का सही मान रखें। / \(\frac{5!}{2!,3!}=\frac{120}{2\times6}=10\). Keep the correct value of each factorial.
(2!=2) और (5!=120), इसलिए योग (122) है। जोड़ते समय छोटे क्रमगुणित को न भूलें। / (2!=2) and (5!=120), so the sum is (122). Do not forget the smaller factorial while adding.
\(7!=7\times6\times5!\) होता है। बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक विस्तार करें। / \(7!=7\times6\times5!\). Expand the larger factorial down to the smaller factorial.
\(12!=12\times11\times10!\), इसलिए दिया गया रूप (12!) है। क्रमगुणित विस्तार को छोटे क्रमगुणित तक पहचानें। / \(12!=12\times11\times10!\), so the given form is (12!). Recognize factorial expansion down to a smaller factorial.
\(8!=8\times7!\) और (7!=5040), इसलिए मान (40320) है। बड़े क्रमगुणित को पिछले क्रमगुणित से निकालें। / \(8!=8\times7!\) and (7!=5040), so the value is (40320). Find a larger factorial using the previous factorial.
\(12!=12\times11!\), इसलिए भाग देने पर (12) बचता है। पास-पास के क्रमगुणित सीधे कटते हैं। / \(12!=12\times11!\), so division leaves (12). Consecutive factorials cancel directly.
(2!=2) और (6!=720), इसलिए योग (722) है। जोड़ने से पहले हर क्रमगुणित का मान निकालें। / (2!=2) and (6!=720), so the sum is (722). Find each factorial value before adding.
\(\frac{10!}{7!}=10\times9\times8=720\)। छोटे क्रमगुणित को काटकर केवल बचे गुणकों को गुणा करें। / \(\frac{10!}{7!}=10\times9\times8=720\). Cancel the smaller factorial and multiply only the remaining factors.
\(\frac{9!}{6!,3!}=\frac{9\times8\times7}{6}=84\)। बड़े क्रमगुणित को छोटे तक तोड़ना आसान है। / \(\frac{9!}{6!,3!}=\frac{9\times8\times7}{6}=84\). Breaking the larger factorial down to the smaller one is easy.
(5!=120) और (0!=1), इसलिए गुणनफल (120) है। (0!) को (1) मानना जरूरी है। / (5!=120) and (0!=1), so the product is (120). It is necessary to take (0!) as (1).
\(11!=11\times10\times9!\), इसलिए दिया गया रूप (11!) है। क्रमगुणित विस्तार पहचानना मुख्य बात है। / \(11!=11\times10\times9!\), so the given form is (11!). Recognizing factorial expansion is the key point.
\(\frac{8!}{3!,5!}=\frac{8\times7\times6}{6}=56\)। हर फैक्टोरियल को सावधानी से काटें। / \(\frac{8!}{3!,5!}=\frac{8\times7\times6}{6}=56\). Cancel each factorial carefully.
(x=24) और (y=6), इसलिए (xy=144) है। चर का मान रखने के बाद गुणा करें। / (x=24) and (y=6), so (xy=144). Substitute the values of variables and then multiply.
(4!=24), (5!=120) और (3!=6), इसलिए मान (138) है। पहले क्रमगुणित मान लिखें। / (4!=24), (5!=120), and (3!=6), so the value is (138). Write the factorial values first.
((n+5)!=(n+5)(n+4)!), इसलिए सरल रूप (n+5) है। पास वाला क्रमगुणित काट दें। / ((n+5)!=(n+5)(n+4)!), so the simplified form is (n+5). Cancel the adjacent factorial.
(3!=6) और (5!=120), इसलिए गुणनफल (720) है। गुणा से पहले दोनों क्रमगुणित निकालें। / (3!=6) and (5!=120), so the product is (720). Evaluate both factorials before multiplying.
\(7!=7\times6\times5\times4!\), इसलिए \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5\)। शेष गुणकों के अनुसार हर चुनें। / \(7!=7\times6\times5\times4!\), so \(\frac{7!}{4!}=7\times6\times5\). Choose the denominator according to the remaining factors.
\(\frac{6!+5!}{5!}=\frac{720+120}{120}=7\)। अंश का योग सही लिखें। / \(\frac{6!+5!}{5!}=\frac{720+120}{120}=7\). Write the sum in the numerator correctly.
(8!=40320) और (7!=5040), इसलिए अंतर (35280) है। घटाने से पहले दोनों मान निकालें। / (8!=40320) and (7!=5040), so the difference is (35280). Find both values before subtracting.
\(13!=13\times12\times11!\) होता है। बड़े क्रमगुणित को छोटे क्रमगुणित तक लिखें। / \(13!=13\times12\times11!\). Write the larger factorial down to the smaller factorial.
\(7!=7\times6!\), इसलिए अंश और हर समान हैं। समान अशून्य राशियों का भाग (1) होता है। / \(7!=7\times6!\), so numerator and denominator are the same. The quotient of equal non-zero quantities is (1).
(1!=1), (4!=24) और (0!=1), इसलिए योग (26) है। (0!) और (1!) दोनों (1) होते हैं। / (1!=1), (4!=24), and (0!=1), so the sum is (26). Both (0!) and (1!) are (1).
(\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2), इसलिए (1) जोड़ने पर (n+3) मिलता है। पहले भिन्न को सरल करें। / (\frac{(n+2)!}{(n+1)!}=n+2), so adding (1) gives (n+3). Simplify the fraction first.
(2!=2), (3!=6) और (4!=24), इसलिए गुणनफल (288) है। हर पद अलग निकालें। / (2!=2), (3!=6), and (4!=24), so the product is (288). Evaluate each term separately.
\(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\), इसलिए अनुपात (30:1) है। अनुपात में समान क्रमगुणित काटें। / \(\frac{6!}{4!}=6\times5=30\), so the ratio is (30:1). Cancel the common factorial in a ratio.
\(14!=14\times13!\), इसलिए दिया गया गुणनफल (14!) है। यह मूल क्रमगुणित पहचान है। / \(14!=14\times13!\), so the given product is (14!). This is a basic factorial identity.
\(\frac{5!}{1!,4!}=\frac{5\times4!}{1\times4!}=5\)। (1!) का मान (1) होता है। / \(\frac{5!}{1!,4!}=\frac{5\times4!}{1\times4!}=5\). The value of (1!) is (1).
\(4!\times2!-3!=24\times2-6=42\)। क्रमगुणित मानों को पहले संख्याओं में बदलें। / \(4!\times2!-3!=24\times2-6=42\). Convert factorial values into numbers first.
\(9!=9\times8!\), इसलिए \(8!=\frac{9!}{9}\)। बड़े क्रमगुणित से छोटा क्रमगुणित भी निकाला जा सकता है। / \(9!=9\times8!\), so \(8!=\frac{9!}{9}\). A smaller factorial can also be found from a larger factorial.
\(\frac{12!}{10!}=12\times11=132\)। छोटे क्रमगुणित को काटने के बाद बचे गुणक गुणा करें। / \(\frac{12!}{10!}=12\times11=132\). After cancelling the smaller factorial, multiply the remaining factors.
\(7!\div5!=42\) और (2!=2), इसलिए अंतर (40) है। पहले दोनों भागों के मान निकालें। / \(7!\div5!=42\) and (2!=2), so the difference is (40). First find the values of both parts.
\(5!=5\times4\times3\times2\times1\), इसलिए अंतिम गुणक (1) है। क्रमगुणित हमेशा (1) तक जाता है। / \(5!=5\times4\times3\times2\times1\), so the last factor is (1). A factorial always goes down to (1).
\(\frac{6!}{3!}=6\times5\times4=120\), और \(120\div5=24\)। भागों को क्रम से सरल करें। / \(\frac{6!}{3!}=6\times5\times4=120\), and \(120\div5=24\). Simplify the operations in order.
((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!), इसलिए शेष ((n+3)(n+2)) है। समान क्रमगुणित भाग काटें। / ((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!), so the remaining part is ((n+3)(n+2)). Cancel the common factorial part.
(6!=720) और (4!=24), इसलिए अंतर (696) है। सीधे घटाने से पहले दोनों क्रमगुणित निकालें। / (6!=720) and (4!=24), so the difference is (696). Find both factorials before subtracting directly.
(9!) में (9) से (1) तक गुणा होता है। क्रमगुणित में जोड़ या घटाव नहीं होता। / In (9!), numbers from (9) down to (1) are multiplied. Factorial does not use addition or subtraction.
\(\frac{10!}{8!,2!}=\frac{10\times9}{2}=45\)। पहले (8!) काटें और फिर (2!) से भाग दें। / \(\frac{10!}{8!,2!}=\frac{10\times9}{2}=45\). First cancel (8!) and then divide by (2!).
(0!=1), इसलिए \(4!\times0!=24\) और (3!+24=30)। गुणा को जोड़ से पहले करें। / (0!=1), so \(4!\times0!=24\) and (3!+24=30). Do multiplication before addition.
\(8!=8\times7!\), इसलिए \(\frac{8!}{8}=7!\) है। सामान्य गुणक काटकर उत्तर मिल जाता है। / \(8!=8\times7!\), so \(\frac{8!}{8}=7!\). Cancel the common factor to get the answer.
