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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Operations on Sets (Union, Intersection, Difference) Hard Level 16

यदि \(A\cup B=U\) तथा \(A\cap B=\varnothing\) है, तो \(B\) किस समुच्चय के बराबर होगा?

If \(A\cup B=U\) and \(A\cap B=\varnothing\), then which set is equal to \(B\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(A'\)

Explanation

Simple Explanation

\(A\cap B=\varnothing\) का अर्थ है कि \(A\) और \(B\) में कोई उभयनिष्ठ तत्व नहीं है। साथ ही, \(A\cup B=U\) होने से \(U\) का प्रत्येक तत्व \(A\) या \(B\) में होगा। इसलिए \(B\) में ठीक वे तत्व होंगे जो \(U\) में हैं, पर \(A\) में नहीं हैं। अतः \(B=A'\), जहाँ \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है। \(A\) स्वयं सही नहीं हो सकता, क्योंकि दोनों समुच्चय असंयुक्त हैं। परीक्षा टिप: पूरक पहचानने के लिए जाँचें कि दो समुच्चयों का संघ सार्वत्रिक समुच्चय और प्रतिच्छेद रिक्त है या नहीं। / \(A\cap B=\varnothing\) means that \(A\) and \(B\) have no common elements. Also, \(A\cup B=U\) means every element of the universal set belongs to either \(A\) or \(B\). Hence, \(B\) contains exactly those elements of \(U\) that are not in \(A\). Therefore, \(B=A'\), where \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to \(U\). \(A\) itself cannot be correct because the two sets are disjoint. Exam tip: To identify complementary sets, check whether their union is the universal set and their intersection is empty.

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यदि \(A\cup B=U\) तथा \(A\cap B=\varnothing\) है, तो \(B\) किस समुच्चय के बराबर होगा? / If \(A\cup B=U\) and \(A\cap B=\varnothing\), then which set is equal to \(B\)?

Correct Answer: A. \(A'\). Explanation: \(A\cap B=\varnothing\) का अर्थ है कि \(A\) और \(B\) में कोई उभयनिष्ठ तत्व नहीं है। साथ ही, \(A\cup B=U\) होने से \(U\) का प्रत्येक तत्व \(A\) या \(B\) में होगा। इसलिए \(B\) में ठीक वे तत्व होंगे जो \(U\) में हैं, पर \(A\) में नहीं हैं। अतः \(B=A'\), जहाँ \(A'\), \(U\) के सापेक्ष \(A\) का पूरक है। \(A\) स्वयं सही नहीं हो सकता, क्योंकि दोनों समुच्चय असंयुक्त हैं। परीक्षा टिप: पूरक पहचानने के लिए जाँचें कि दो समुच्चयों का संघ सार्वत्रिक समुच्चय और प्रतिच्छेद रिक्त है या नहीं। / \(A\cap B=\varnothing\) means that \(A\) and \(B\) have no common elements. Also, \(A\cup B=U\) means every element of the universal set belongs to either \(A\) or \(B\). Hence, \(B\) contains exactly those elements of \(U\) that are not in \(A\). Therefore, \(B=A'\), where \(A'\) is the complement of \(A\) with respect to \(U\). \(A\) itself cannot be correct because the two sets are disjoint. Exam tip: To identify complementary sets, check whether their union is the universal set and their intersection is empty.