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Subjects
Class 11 Mathematics Relations and Functions Functions as a special kind of relation Hard Level 32

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), जहाँ \(f(x)=x^3-3x\), के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Which statement is correct about the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where \(f(x)=x^3-3x\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. एक-एक नहीं है, लेकिन आच्छादक हैNot one-one but onto

Explanation

Simple Explanation

यह फलन एक-एक नहीं है, क्योंकि \(f(-1)=2\) तथा \(f(2)=2\), जबकि \(-1\ne2\)। लेकिन यह आच्छादक है, क्योंकि घन बहुपद के लिए \(x\to-\infty\) पर \(f(x)\to-\infty\) और \(x\to\infty\) पर \(f(x)\to\infty\) होता है। फलन सतत होने के कारण यह प्रत्येक वास्तविक मान ग्रहण करता है। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा टिप: एक-एकता जाँचने के लिए अलग-अलग इनपुटों पर समान आउटपुट खोजें; आच्छादकता के लिए अंतिम व्यवहार और सततता देखें। / The function is not one-one because \(f(-1)=2\) and \(f(2)=2\), although \(-1\ne2\). However, it is onto: for this continuous cubic polynomial, \(f(x)\to-\infty\) as \(x\to-\infty\) and \(f(x)\to\infty\) as \(x\to\infty\). Hence, it takes every real value. Therefore, option B is correct. Exam tip: To test one-one-ness, look for distinct inputs with the same output; for onto-ness, use continuity and end behaviour.

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फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), जहाँ \(f(x)=x^3-3x\), के बारे में कौन-सा कथन सही है? / Which statement is correct about the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), where \(f(x)=x^3-3x\)?

Correct Answer: B. एक-एक नहीं है, लेकिन आच्छादक है / Not one-one but onto. Explanation: यह फलन एक-एक नहीं है, क्योंकि \(f(-1)=2\) तथा \(f(2)=2\), जबकि \(-1\ne2\)। लेकिन यह आच्छादक है, क्योंकि घन बहुपद के लिए \(x\to-\infty\) पर \(f(x)\to-\infty\) और \(x\to\infty\) पर \(f(x)\to\infty\) होता है। फलन सतत होने के कारण यह प्रत्येक वास्तविक मान ग्रहण करता है। इसलिए सही विकल्प B है। परीक्षा टिप: एक-एकता जाँचने के लिए अलग-अलग इनपुटों पर समान आउटपुट खोजें; आच्छादकता के लिए अंतिम व्यवहार और सततता देखें। / The function is not one-one because \(f(-1)=2\) and \(f(2)=2\), although \(-1\ne2\). However, it is onto: for this continuous cubic polynomial, \(f(x)\to-\infty\) as \(x\to-\infty\) and \(f(x)\to\infty\) as \(x\to\infty\). Hence, it takes every real value. Therefore, option B is correct. Exam tip: To test one-one-ness, look for distinct inputs with the same output; for onto-ness, use continuity and end behaviour.