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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic, students learn how real numbers—including rational numbers, irrational numbers and square roots—are located and represented accurately on the number line. They explore scale, order, distance and interval placement, and connect numerical values with geometric positions. This understanding supports the Polynomials chapter by helping students interpret and visualise real zeroes as points on the number line.
Hard · Level 4 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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The midpoint is ( \frac{-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{5}{2}). Add the fractions first, then divide by (2).मध्य बिंदु ( \frac{-\frac{9}{2}-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{5}{2}) है। भिन्नों में पहले योग करें, फिर (2) से भाग दें।
( \frac{22}{7}\approx3.142857) and ( \pi\approx3.14159), so ( \frac{22}{7}) is slightly larger. Do not treat common approximations as exactly equal.( \frac{22}{7}\approx3.142857) और ( \pi\approx3.14159), इसलिए ( \frac{22}{7}) थोड़ा बड़ा है। प्रसिद्ध अनुमानों को बराबर न मानें।
The direct answer is option A: between 3.8 and 3.9. To locate a positive square root, compare squares because squaring preserves order for non-negative numbers. We have \(3.8^2=14.44\) and \(3.9^2=15.21\). Since \(14.44<15<15.21\), taking square roots gives \(3.8<\sqrt{15}<3.9\). Therefore option A is correct. Option B, between 3.5 and 3.6, is wrong because their squares are 12.25 and 12.96, both below 15. Option C, between 4.1 and 4.2, is wrong because their squares, 16.81 and 17.64, are above 15. Option D, between 2.9 and 3.0, is wrong because their squares are 8.41 and 9, far below 15. The nearby whole squares also help: \(3^2=9<15<16=4^2\), so the answer must lie between 3 and 4. Exam cue: square both proposed decimal boundaries.सीधा उत्तर विकल्प A है: 3.8 और 3.9 के बीच। धनात्मक वर्गमूल का स्थान पता करने के लिए सीमाओं के वर्ग की तुलना करें, क्योंकि गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए वर्ग करने पर क्रम बना रहता है। \(3.8^2=14.44\) और \(3.9^2=15.21\)। चूँकि \(14.44<15<15.21\), इसलिए \(3.8<\sqrt{15}<3.9\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में 3.5 और 3.6 के वर्ग 12.25 और 12.96 हैं, जो दोनों 15 से छोटे हैं। विकल्प C में 4.1 और 4.2 के वर्ग 16.81 और 17.64 हैं, जो 15 से बड़े हैं। विकल्प D में 2.9 और 3.0 के वर्ग 8.41 और 9 हैं, इसलिए वे बहुत छोटे हैं। पहले यह भी देख सकते हैं कि \(3^2=9<15<16=4^2\), इसलिए वर्गमूल 3 और 4 के बीच होना चाहिए। परीक्षा संकेत: दिए गए दशमलव सिरों का वर्ग करके 15 को उनके बीच जाँचें।
Moving \(\sqrt{13}\) units to the right from \(-4\) gives \(x=-4+\sqrt{13}\). Since \(3^2<13<4^2\), we have \(3<\sqrt{13}<4\). Adding \(-4\) throughout gives \(-1<x<0\), so \(x\) lies between \(-1\) and \(0\). Option B is incorrect because the value of \(x\) is still negative. Exam tip: locate a square root between two consecutive integers before adding or subtracting it.दाईं ओर \(\sqrt{13}\) इकाई जाने पर \(x=-4+\sqrt{13}\) होगा। क्योंकि \(3^2<13<4^2\), इसलिए \(3<\sqrt{13}<4\)। दोनों पक्षों में \(-4\) जोड़ने पर \(-1<x<0\), अतः सही अंतराल \((-1,0)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x\) का मान अभी भी ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल का अनुमान लगाने के लिए उसे दो क्रमागत पूर्णांकों के बीच रखें।
Write the decimal as a fraction first: \(0.125=\frac{125}{1000}\). Dividing the numerator and denominator by \(125\) gives \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\), so option A is correct. The distractor \(\frac{1}{4}\) equals \(0.25\), not \(0.125\). Exam tip: for a decimal with three digits after the decimal point, initially use \(1000\) as the denominator and then simplify.दशमलव संख्या को पहले भिन्न में लिखें: \(0.125=\frac{125}{1000}\)। अंश और हर दोनों को \(125\) से भाग देने पर \(\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\) प्राप्त होता है, इसलिए सही विकल्प A है। \(\frac{1}{4}=0.25\) निकटतम भिन्नात्मक भ्रम हो सकता है, पर वह \(0.125\) के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: दशमलव के बाद तीन अंक हों, तो उसे पहले \(1000\) के हर वाली भिन्न में बदलकर सरल करें।
The direct answer is option A: \(1/12\). On a number line, moving to the right means adding the distance. Starting at \(-3/4\) and moving right by \(5/6\) gives \(-3/4+5/6\). The least common denominator is 12: \(-3/4=-9/12\) and \(5/6=10/12\). Therefore \(-9/12+10/12=1/12\). Option A is correct. Option B, \(-19/12\), results from adding the magnitudes while keeping the starting negative sign, which represents movement in the wrong direction. Option C, \(5/24\), comes from an incorrect denominator or arithmetic step. Option D, \(-1/12\), would represent moving left by the corresponding difference, not moving right. The phrase 'to the right' is the key: add a positive distance. Memory cue: right means plus and left means minus; then use a common denominator.सीधा उत्तर विकल्प A है: \(1/12\)। संख्या रेखा पर दाईं ओर जाना शुरूआती संख्या में धनात्मक दूरी जोड़ना है। इसलिए \(-3/4\) से शुरू करके \(5/6\) जोड़ेंगे: \(-3/4+5/6\)। समान हर 12 लें। \(-3/4=-9/12\) और \(5/6=10/12\)। अब \(-9/12+10/12=1/12\)। इसलिए A सही है। B, अर्थात \(-19/12\), ऋणात्मक चिह्न और दूरी को गलत ढंग से मिलाने से मिलता है और दाईं ओर जाने को नहीं दर्शाता। C, \(5/24\), में समान हर या गणना गलत है। D, \(-1/12\), उलटी दिशा या गलत क्रम का परिणाम है; दाईं ओर जाने पर यहाँ उत्तर धनात्मक होना चाहिए। मुख्य संकेत ‘दाईं ओर’ है, इसलिए धनात्मक दूरी जोड़ें। याद रखें: दायाँ मतलब जोड़ना, बायाँ मतलब घटाना; भिन्न जोड़ते समय पहले समान हर बनाइए।
For ( -\sqrt{10}<-\sqrt{m}), we need ( \sqrt{10}>\sqrt{m}), so (m<10). Inequality reverses with negative roots.( -\sqrt{10}<-\sqrt{m}) के लिए ( \sqrt{10}>\sqrt{m}), इसलिए (m<10)। ऋणात्मक मूलों में असमानता उलटती है।
( \frac{5}{3}\approx1.667), (1.7=1.7), and ( \sqrt{3}\approx1.732). Convert mixed forms to decimals for ordering.( \frac{5}{3}\approx1.667), (1.7=1.7), और ( \sqrt{3}\approx1.732)। मिश्रित संख्याओं को दशमलव में बदलकर क्रम लगाएँ।
The point has coordinate \\( -\sqrt{48} \\). To locate it, compare 48 with nearby perfect squares: \\(6^2=36\\) and \\(7^2=49\\). Therefore \\(6<\sqrt{48}<7\\). Taking the negative changes the order on the number line, so \\(-7<-\sqrt{48}<-6\\). Thus the point lies between the consecutive integers \\(-7\\) and \\(-6\\), which is option A. A common mistake is to choose 6 and 7 because the square root itself lies there, without considering the negative sign.
The value is approximately \\(-6.93\\), confirming the interval. The negative of a number between 6 and 7 must lie between -7 and -6, not between -6 and -5. The endpoint values are not included because \\(48\\) is not a perfect square, so the inequalities are strict. Hence the supplied answer A follows directly from comparing perfect squares and reversing the order correctly for negative numbers.बिंदु का निर्देशांक \\( -\sqrt{48} \\) है। इसे रखने के लिए 48 की तुलना पास के पूर्ण वर्गों से करें: \\(6^2=36\\) और \\(7^2=49\\)। इसलिए \\(6<\sqrt{48}<7\\)। ऋण चिह्न लगाने पर संख्या रेखा पर क्रम उलट जाता है और \\(-7<-\sqrt{48}<-6\\) मिलता है। अतः बिंदु लगातार पूर्णांकों -7 और -6 के बीच है, इसलिए विकल्प A सही है। केवल 6 और 7 चुनना सामान्य भूल है, क्योंकि उसमें ऋण चिह्न पर ध्यान नहीं दिया जाता।
इसका लगभग मान \\(-6.93\\) है, जो इसी अंतराल की पुष्टि करता है। 6 और 7 के बीच की किसी संख्या का ऋणात्मक मान -7 और -6 के बीच होगा, -6 और -5 के बीच नहीं। दोनों सिरों को शामिल नहीं किया जाएगा, क्योंकि 48 पूर्ण वर्ग नहीं है और इसलिए असमानताएँ सख्त हैं। इस प्रकार पूर्ण वर्गों की तुलना और ऋणात्मक संख्या के क्रम को सही ढंग से समझने पर दिया गया उत्तर A निश्चित रूप से प्राप्त होता है।
( \sqrt{5}\approx2.236), so (2-\sqrt{5}\approx-0.236). Estimation is fastest for subtraction with roots.( \sqrt{5}\approx2.236), इसलिए (2-\sqrt{5}\approx-0.236)। घटाव वाले मूलों में अनुमान सबसे तेज होता है।
( \sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}) because the principal square root is positive. Take the root of both numerator and denominator.( \sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}) क्योंकि धनात्मक वर्गमूल लिया जाता है। भिन्न के वर्गमूल में अंश और हर दोनों का मूल लें।
( \sqrt{6}\approx2.449) and ( \sqrt{7}\approx2.646), so (2.5) lies between them. Estimate carefully for close square roots.( \sqrt{6}\approx2.449) और ( \sqrt{7}\approx2.646), इसलिए (2.5) बीच में है। नजदीकी मूलों में सावधानी से अनुमान लगाएँ।
( \sqrt{1.44}=1.2) and ( \sqrt{1.69}=1.3), so (1.25) lies between them. Knowing decimal squares is useful.( \sqrt{1.44}=1.2) और ( \sqrt{1.69}=1.3), इसलिए (1.25) बीच में है। दशमलव वर्गों को याद रखना उपयोगी है।
( \pi\approx3.14159), ( \frac{19}{6}\approx3.1667), and ( \sqrt{10}\approx3.1623), so exact checking is needed. Estimate each value accurately while comparing.( \pi\approx3.14159), ( \frac{19}{6}\approx3.1667), और ( \sqrt{10}\approx3.1623), इसलिए सही क्रम ( \pi,\sqrt{10},\frac{19}{6}) नहीं बल्कि विकल्पों में जाँच आवश्यक है। तुलना में हर मान का सटीक अनुमान करें।
Since ( \sqrt{5}\approx2.236), ( \sqrt{5}+\frac{1}{2}\approx2.736). Use estimation to identify the interval quickly.क्योंकि ( \sqrt{5}\approx2.236), इसलिए ( \sqrt{5}+\frac{1}{2}\approx2.736)। अनुमान लगाकर अंतराल जल्दी पहचानें।
( \sqrt{14}\approx3.742), so (3.8) lies between it and (4). Decimal estimation is important for nearby square roots.( \sqrt{14}\approx3.742), इसलिए (3.8) इसके और (4) के बीच है। निकट वर्गमूलों में दशमलव अनुमान जरूरी है।
( -\frac{11}{3}\approx-3.667) and ( -\sqrt{13}\approx-3.606), so ( -\frac{11}{3}) is smaller. On a number line, the smaller number lies farther left.( -\frac{11}{3}\approx-3.667) और ( -\sqrt{13}\approx-3.606), इसलिए ( -\frac{11}{3}) अधिक छोटा है। संख्या रेखा पर छोटी संख्या अधिक बाईं ओर होती है।
Compare the nearest perfect squares: \(7^2=49\) and \(8^2=64\). Since \(49<52<64\), taking square roots gives \(7<\sqrt{52}<8\). Therefore, \(\sqrt{52}\) lies between 7 and 8. Exam tip: To bound a square root, identify the consecutive perfect squares immediately below and above the number.निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें: \(7^2=49\) और \(8^2=64\)। चूँकि \(49<52<64\), इसलिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर \(7<\sqrt{52}<8\) प्राप्त होता है। अतः \(\sqrt{52}\), 7 और 8 के बीच स्थित है। परीक्षा-युक्ति: किसी वर्गमूल की सीमा ज्ञात करने के लिए उसके ठीक नीचे और ऊपर वाले पूर्ण वर्ग पहचानें।
Convert the fraction to a decimal by dividing 23 by 8: \(23 \div 8 = 2.875\). Therefore, \(\frac{23}{8}\) corresponds to the point 2.875 on the number line. Options A and D represent \(\frac{21}{8}\) and \(\frac{19}{8}\), respectively, so they are incorrect. Exam tip: Convert a fraction to a decimal or mixed number before locating it on the number line.\(\frac{23}{8}\) को दशमलव में बदलने के लिए 23 को 8 से भाग दें: \(23 \div 8 = 2.875\)। इसलिए संख्या रेखा पर यह 2.875 के संगत बिंदु पर स्थित होगा। विकल्प A और D क्रमशः \(\frac{21}{8}\) और \(\frac{19}{8}\) के बराबर हैं, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी भिन्न का संख्या रेखा पर स्थान ज्ञात करने के लिए पहले उसे दशमलव या मिश्रित संख्या में बदलें।
Moving right means adding the distance, so the coordinate is ( -3+\sqrt{14} ). Choose addition or subtraction by direction.दाईं ओर जाने पर दूरी जोड़ी जाती है, इसलिए निर्देशांक ( -3+\sqrt{14} ) होगा। दिशा देखकर जोड़ या घटाव चुनें।
Since \(1.8^2=1.8\times1.8=3.24\), we have \(\sqrt{3.24}=1.8\). The square root symbol denotes the positive square root, so the corresponding point has coordinate \(1.8\). The closest distractor, \(1.6\), is incorrect because \(1.6^2=2.56\). Exam tip: verify a decimal square root by squaring the proposed value and checking its place value.क्योंकि \(1.8^2=1.8\times1.8=3.24\), इसलिए \(\sqrt{3.24}=1.8\) है। यहाँ धनात्मक वर्गमूल लिया जाता है, इसलिए सही बिंदु का निर्देशांक \(1.8\) होगा। विकल्प \(1.6\) का वर्ग केवल \(2.56\) है। परीक्षा-टिप: दशमलव संख्या का वर्गमूल ज्ञात करते समय दशमलव स्थानों की जाँच अवश्य करें।
( -\frac{19}{6}\approx-3.167 ), so it lies between (-4) and (-3). Converting a negative fraction to decimal is useful.( -\frac{19}{6}\approx-3.167 ), इसलिए यह (-4) और (-3) के बीच है। ऋणात्मक भिन्न को दशमलव में बदलना उपयोगी है।
Since \(\sqrt{6}\approx2.449\), \(c=2.48\), and \(\frac{5}{2}=2.5\), we get \(2.449<2.48<2.5\). Therefore, the increasing order is \(a<c<b\). Remember that increasing order means arranging numbers from least to greatest.\(\sqrt{6}\approx2.449\), जबकि \(c=2.48\) और \(\frac{5}{2}=2.5\) हैं। इसलिए \(2.449<2.48<2.5\), अर्थात \(a<c<b\)। ध्यान रखें कि बढ़ते क्रम में संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम में लिखा जाता है।
Since \(8^2=64\) and \(9^2=81\), \(\sqrt{65}\) is very close to 8. More precisely, \(\sqrt{65}\approx8.062\), which rounds to 8.1 to one decimal place. Option 7.9 lies below 8 and is not the correct nearest decimal estimate. Exam tip: bracket a square root between two consecutive perfect squares, then round its decimal value to the required place.क्योंकि \(8^2=64\) और \(9^2=81\), इसलिए \(\sqrt{65}\), 8 के बहुत निकट है। अधिक सटीक रूप से, \(\sqrt{65}\approx8.062\), जिसे एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर 8.1 मिलता है। विकल्प 7.9, 8 से नीचे है और \(\sqrt{65}\) का सही निकटतम दशमलव अनुमान नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल को एक दशमलव तक निकालते समय पहले उसके निकटतम पूर्णांकों के वर्ग ज्ञात करें, फिर दशमलव मान को पूर्णांकित करें।
( \sqrt{21}\approx4.583 ) and ( \sqrt{22}\approx4.690 ), so (4.65) lies between them. Estimate accurately for close roots.( \sqrt{21}\approx4.583 ) और ( \sqrt{22}\approx4.690 ), इसलिए (4.65) इनके बीच है। पास-पास मूलों में सटीक अनुमान करें।
