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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic, students learn how real numbers—including rational numbers, irrational numbers and square roots—are located and represented accurately on the number line. They explore scale, order, distance and interval placement, and connect numerical values with geometric positions. This understanding supports the Polynomials chapter by helping students interpret and visualise real zeroes as points on the number line.
Hard · Level 3 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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Moving right means addition, so the coordinate is (1+\sqrt{6}). Choose the sign by checking the direction.दाईं ओर जाने पर संख्या जोड़ी जाती है, इसलिए निर्देशांक (1+\sqrt{6}) होगा। दिशा देखकर चिह्न चुनें।
To locate \(\frac{-13}{4}\), divide 13 by 4 and retain the negative sign. Since \(13\div4=3.25\), the number is \(-3.25\). On the number line, \(-3.25\) lies to the left of \(-3\) but to the right of \(-4\). Therefore it lies between \(-4\) and \(-3\), making option A correct.
The negative sign is important: negative numbers appear on the left side of zero, and a more negative number is farther left. We can also compare using fourths: \(-4=-16/4\) and \(-3=-12/4\), while \(-13/4\) is between them. It is not between \(-3\) and \(-2\), nor in the positive intervals.\(\frac{-13}{4}\) का स्थान जानने के लिए 13 को 4 से भाग दें और ऋण चिह्न बनाए रखें। क्योंकि \(13\div4=3.25\), संख्या \(-3.25\) है। संख्या रेखा पर \(-3.25\), \(-3\) के बाईं ओर लेकिन \(-4\) के दाईं ओर स्थित है। इसलिए यह \(-4\) और \(-3\) के बीच है और विकल्प A सही है।
ऋण चिह्न महत्वपूर्ण है: ऋणात्मक संख्याएँ शून्य के बाईं ओर होती हैं और अधिक ऋणात्मक संख्या अधिक बाईं ओर जाती है। भिन्नों से भी जाँच सकते हैं: \(-4=-16/4\), \(-3=-12/4\), और \(-13/4\) इनके बीच है। इसलिए यह \(-3\) और \(-2\) या किसी धनात्मक अंतराल में नहीं हो सकती।
Since (2<3<5), ( \sqrt{2}<\sqrt{3}<\sqrt{5}). For positive square roots, order follows the radicand.क्योंकि (2<3<5), इसलिए ( \sqrt{2}<\sqrt{3}<\sqrt{5})। धनात्मक वर्गमूल में अंदर की संख्या से क्रम तय होता है।
Since (6^2=36) and (7^2=49), ( \sqrt{45}) is about (6.7). Estimate using nearby perfect squares.क्योंकि (6^2=36) और (7^2=49), इसलिए ( \sqrt{45}) लगभग (6.7) है। निकटतम पूर्ण वर्गों से अनुमान लगाएँ।
The smallest number is farthest left, and (-1.8) is the smallest. For negative decimals, larger magnitude means farther left.सबसे छोटी संख्या संख्या रेखा पर सबसे बाईं ओर होती है, और (-1.8) सबसे छोटी है। ऋणात्मक दशमलव में अधिक परिमाण का मतलब अधिक बायाँ होता है।
Since \(3^2<12<4^2\), we have \(3<\sqrt{12}<4\). Subtracting 1 from all parts gives \(2<\sqrt{12}-1<3\), so the expression lies between 2 and 3. Option B describes the interval for \(\sqrt{12}\), not for the complete expression. Exam tip: first bound the square root between consecutive integers, then apply the remaining operation to all parts of the inequality.क्योंकि \(3^2<12<4^2\), इसलिए \(3<\sqrt{12}<4\)। प्रत्येक पक्ष से 1 घटाने पर \(2<\sqrt{12}-1<3\), अतः यह 2 और 3 के बीच स्थित है। विकल्प B इसलिए गलत है क्योंकि वह \(\sqrt{12}\) के अंतराल से संबंधित है, मूल व्यंजक के नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले वर्गमूल का निकटतम पूर्णांकों के बीच अंतराल ज्ञात करें, फिर पूरे व्यंजक पर समान संक्रिया करें।
The midpoint of \(a\) and \(b\) is \(\frac{a+b}{2}\).
So midpoint of \(0\) and \(1\) is \(\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\).\(a\) और \(b\) के बीच मध्य बिंदु \(\frac{a+b}{2}\) होता है।
अतः \(0\) और \(1\) का मध्य बिंदु \(\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\) है।
The distance between two points on a number line is the absolute value of the difference of their coordinates: \(|3.6-(-2.4)|=|6|=6\). Therefore, the length of AB is \(6\). Remember that distance is always non-negative; \(1.2\) results from incorrectly subtracting the decimal parts only.संख्या रेखा पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी उनके निर्देशांकों के अंतर का परिमाण होती है: \(|3.6-(-2.4)|=|6|=6\)। इसलिए AB की लंबाई \(6\) है। याद रखें, दूरी हमेशा धनात्मक ली जाती है; इसी कारण \(1.2\), जो दशमलवों का गलत अंतर लेने से मिल सकता है, सही नहीं है।
( \frac{7}{8}) means (7) parts out of (8) equal parts from (0) to (1). The denominator gives the number of equal parts.( \frac{7}{8}) का अर्थ (0) से (1) तक (8) बराबर भागों में (7) भाग है। हर बराबर भागों की संख्या बताता है।
(99) is very close to (100), so ( \sqrt{99}) is about (10). The nearest perfect square gives a quick answer.(99) संख्या (100) के बहुत निकट है, इसलिए ( \sqrt{99}) लगभग (10) है। निकटतम पूर्ण वर्ग तेजी से उत्तर देता है।
( |x-2|=3) means the distance of (x) from (2) is (3), so (x=-1) or (x=5). Check both directions in distance questions.( |x-2|=3) का अर्थ (x) की (2) से दूरी (3) है, इसलिए (x=-1) या (x=5)। दूरी वाले प्रश्न में दोनों दिशाएँ जाँचें।
( \sqrt{2}\approx1.414) and ( \sqrt{3}\approx1.732), so the sum is about (3.146). Estimation is a safe method for such sums.( \sqrt{2}\approx1.414) और ( \sqrt{3}\approx1.732), योग लगभग (3.146) है। कठिन योगों में अनुमान लगाना सुरक्षित तरीका है।
The distance from ( -\frac{5}{6}) to (-1) is ( \frac{1}{6}), and to (0) is ( \frac{5}{6}). Closeness depends on the smaller distance.( -\frac{5}{6}) की (-1) से दूरी ( \frac{1}{6}) और (0) से दूरी ( \frac{5}{6}) है। छोटी दूरी से निकटता तय होती है।
( \sqrt{8}\approx2.828), so (2.9) lies between it and (3). First estimate the irrational number.( \sqrt{8}\approx2.828), इसलिए (2.9) उसके और (3) के बीच है। पहले अपरिमेय संख्या का अनुमान करें।
( \sqrt{20}\approx4.47) and ( \sqrt{27}\approx5.19), so (5) lies between them. Use perfect squares to identify bounds.( \sqrt{20}\approx4.47) और ( \sqrt{27}\approx5.19), इसलिए (5) बीच में है। पूर्ण वर्गों से सीमा पहचानें।
The direct answer is option A, 70. The statement means \\(8<\\sqrt n<9\\). All quantities here are nonnegative, so squaring preserves the order: \\(8^2<n<9^2\\), hence \\(64<n<81\\). Among the choices, 70 lies strictly between 64 and 81, so it is possible. Option A works. Option B, 60, is below 64, so its square root is less than 8. Option C, 81, gives \\(\\sqrt{81}=9\\), but the number must be strictly less than 9. Option D, 100, gives \\(\\sqrt{100}=10\\), outside the interval. The endpoint symbols matter: “between 8 and 9” here excludes both endpoints. Square positive bounds only after checking that the quantities are nonnegative.सीधा उत्तर विकल्प A, 70 है। कथन का अर्थ है \\(8<\\sqrt n<9\\)। सभी राशियाँ गैर-ऋणात्मक हैं, इसलिए वर्ग करने पर क्रम नहीं बदलता: \\(8^2<n<9^2\\), अर्थात \\(64<n<81\\)। विकल्पों में 70, 64 और 81 के बीच है, इसलिए यह संभव है। विकल्प A सही है। विकल्प B का 60, 64 से छोटा है, इसलिए उसका वर्गमूल 8 से छोटा होगा। विकल्प C में 81 है और \\(\\sqrt{81}=9\\), लेकिन संख्या 9 से सख्ती से छोटी होनी चाहिए। विकल्प D में 100 है और \\(\\sqrt{100}=10\\), जो सीमा से बाहर है। “बीच” का अर्थ यहाँ दोनों सिरों को छोड़ना है। धनात्मक सीमाओं का वर्ग करते समय चिह्न और endpoint अवश्य जाँचें।
( \frac{3}{7}\approx0.428), ( \frac{1}{2}=0.5), and ( \frac{4}{7}\approx0.571). Use decimals or cross multiplication to compare fractions.( \frac{3}{7}\approx0.428), ( \frac{1}{2}=0.5), और ( \frac{4}{7}\approx0.571)। भिन्नों की तुलना में दशमलव या क्रॉस गुणन उपयोग करें।
( \sqrt{11}\approx3.316), so (p\approx-3.316), which is less than (-3). Be careful with direction while comparing negatives.( \sqrt{11}\approx3.316), इसलिए (p\approx-3.316) और यह (-3) से छोटा है। ऋणात्मक संख्याओं की तुलना में दिशा का ध्यान रखें।
The point to the right of \(-2\), at a distance of \(\frac{7}{3}\), is found by adding: \(-2+\frac{7}{3}=-\frac{6}{3}+\frac{7}{3}=\frac{1}{3}\). Therefore, the correct answer is \(\frac{1}{3}\).\(-2\) के दाईं ओर \(\frac{7}{3}\) इकाई दूर स्थित बिंदु पाने के लिए जोड़ते हैं: \(-2+\frac{7}{3}=-\frac{6}{3}+\frac{7}{3}=\frac{1}{3}\)। इसलिए सही उत्तर \(\frac{1}{3}\) है।
Both (1.999) and (2.001) are at distance (0.001) from (2). Points at equal distance are equally close.(1.999) और (2.001) दोनों की (2) से दूरी (0.001) है। समान दूरी वाले दोनों बिंदु समान रूप से निकट होते हैं।
With perpendicular sides (1) and (1), the hypotenuse is ( \sqrt{2}). Understand the construction using Pythagoras theorem.समकोण त्रिभुज में भुजाएँ (1) और (1) लेने पर कर्ण ( \sqrt{2}) होता है। पायथागोरस प्रमेय से निर्माण समझें।
(0.4040040004\ldots) is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Observe the decimal pattern carefully.(0.4040040004\ldots) अनावर्ती और असांत दशमलव है, इसलिए यह अपरिमेय है। दशमलव के पैटर्न को ध्यान से देखें।
( \sqrt{3}\approx1.732) and ( \frac{7}{4}=1.75), so ( \sqrt{3}) is slightly smaller. Use decimal comparison for close values.( \sqrt{3}\approx1.732) और ( \frac{7}{4}=1.75), इसलिए ( \sqrt{3}) थोड़ा छोटा है। निकट मानों में दशमलव तुलना करें।
Since \(7^2=49\) and \(8^2=64\), \(\sqrt{50}\) is just slightly greater than 7. More precisely, \(\sqrt{50}\approx7.071\), so \(a-7\approx0.071\), which is closest to 0.07. The value 0.7 is ten times larger than this difference. Exam tip: estimate the square root near the nearest perfect square before performing the required operation.क्योंकि \(7^2=49\) और \(8^2=64\), इसलिए \(\sqrt{50}\), 7 से थोड़ा अधिक है। अधिक सटीक रूप से, \(\sqrt{50}\approx7.071\), अतः \(a-7\approx0.071\), जो 0.07 के सबसे निकट है। 0.7 का अंतर दस गुना अधिक है। परीक्षा-युक्ति: किसी वर्गमूल को निकटतम पूर्णांक के आसपास दशमलव में अनुमानित करके फिर आवश्यक संक्रिया करें।
( -\sqrt{2}\approx-1.414), so (-1.35) lies between it and (-1.3). Read order carefully in negative intervals.( -\sqrt{2}\approx-1.414), इसलिए (-1.35) उसके और (-1.3) के बीच है। ऋणात्मक अंतराल में क्रम सावधानी से पढ़ें।
