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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic, students learn how real numbers—including rational numbers, irrational numbers and square roots—are located and represented accurately on the number line. They explore scale, order, distance and interval placement, and connect numerical values with geometric positions. This understanding supports the Polynomials chapter by helping students interpret and visualise real zeroes as points on the number line.
Hard · Level 2 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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From (5<\sqrt{n}<6), we get (25<n<36), so (30) is possible. Square positive sides in square-root inequalities.(5<\sqrt{n}<6) से (25<n<36), इसलिए (30) संभव है। वर्गमूल असमानता में धनात्मक पक्षों का वर्ग लें।
Since (2<\sqrt{5}<3), (1<-1+\sqrt{5}<2). When adding or subtracting a constant, adjust the whole inequality.क्योंकि (2<\sqrt{5}<3), इसलिए (1<-1+\sqrt{5}<2)। स्थिर संख्या जोड़ने या घटाने पर पूरी असमानता बदलें।
The direct answer is option A, 4.24. Simplify the radical: \(\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}\). Since \(\sqrt{2}\approx1.4142\), we get \(3\sqrt{2}\approx4.2426\), which is nearest to 4.24. We can also check that \(4.24^2\) is close to 18. Option A, 4.24, is correct because its difference from 4.2426 is very small. Option B, 3.24, is about one unit too small. Option C, 5.24, is about one unit too large. Option D, 6.24, is much farther away. The nearby perfect squares 16 and 25 show that \(\sqrt{18}\) lies between 4 and 5, and the calculation gives its precise approximate position. Do not confuse \(\sqrt{18}\) with 18 or with \(\sqrt{9}+\sqrt{2}\); radicals cannot generally be split across addition.सीधा उत्तर विकल्प A, 4.24 है। वर्गमूल को सरल करें: \(\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}\)। क्योंकि \(\sqrt{2}\approx1.4142\), इसलिए \(3\sqrt{2}\approx4.2426\), जो 4.24 के सबसे निकट है। यह भी देख सकते हैं कि \(4.24^2\) का मान 18 के बहुत पास है। विकल्प A, 4.24, सही है क्योंकि 4.2426 और 4.24 का अंतर बहुत छोटा है। विकल्प B, 3.24, लगभग एक इकाई कम है। विकल्प C, 5.24, लगभग एक इकाई अधिक है। विकल्प D, 6.24, और भी दूर है। पास के पूर्ण वर्ग 16 और 25 बताते हैं कि \(\sqrt{18}\), 4 और 5 के बीच होगा; अनुमान से 4.24 मिलता है। \(\sqrt{18}\) को 18 या \(\sqrt{9}+\sqrt{2}\) न समझें; जोड़ के ऊपर वर्गमूल सामान्यतः अलग-अलग नहीं बाँटा जा सकता।
With common denominator (30), (\frac{18}{30}<\frac{20}{30}<\frac{25}{30}). Use a common denominator to order fractions.समान हर (30) लेने पर (\frac{18}{30}<\frac{20}{30}<\frac{25}{30})। भिन्नों का क्रम निकालने के लिए समान हर लें।
(\sqrt{2}\approx1.414) and (\sqrt{3}\approx1.732), so the sum is about (3.146). Add approximate values for sums.(\sqrt{2}\approx1.414) और (\sqrt{3}\approx1.732), इसलिए योग लगभग (3.146) है। योग के लिए अनुमानित मान जोड़ें।
The direct answer is option A, 4. Length on a number line is the absolute difference between the coordinates. Substitute the given values: \(PQ=\left|\frac{11}{2}-\frac{3}{2}\right|=\left|\frac{8}{2}\right|=|4|=4\). Option A is correct. Option B, \(\frac72\), results from an incorrect numerator subtraction and is 3.5, not the actual gap. Option C, 5, is the coordinate of Q, not the distance from P to Q. Option D, \(\frac{11}{2}\), is again just Q's coordinate, not the length of the segment. Since Q is to the right of P, we may also subtract directly without changing the sign, but absolute value is always safe. Exam cue: distance is not an endpoint coordinate; it is the difference between endpoints.सीधा उत्तर विकल्प A, 4 है। संख्या रेखा पर लंबाई दोनों निर्देशांकों का निरपेक्ष अंतर होती है। दिए गए मान रखें: \(PQ=\left|\frac{11}{2}-\frac{3}{2}\right|=\left|\frac82\right|=|4|=4\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, \(\frac72\), अंशों को गलत ढंग से घटाने से मिलता है और वास्तविक अंतर 3.5 नहीं है। विकल्प C, 5, न तो सही दूरी है और न ही Q का निर्देशांक; Q का निर्देशांक \(\frac{11}{2}\) है। विकल्प D, \(\frac{11}{2}\), केवल Q की स्थिति बताता है, P से Q तक की लंबाई नहीं। क्योंकि Q, P के दाईं ओर है, सीधे घटा सकते हैं, फिर भी निरपेक्ष मान लेना हमेशा सुरक्षित है। परीक्षा-सूत्र: दूरी किसी एक छोर का निर्देशांक नहीं, दोनों छोरों का अंतर है।
Because (11<13<15), (\sqrt{11}<\sqrt{13}<\sqrt{15}). For positive square roots, the order of radicands is preserved.क्योंकि (11<13<15), इसलिए (\sqrt{11}<\sqrt{13}<\sqrt{15})। धनात्मक वर्गमूल में मूल संख्या का क्रम बना रहता है।
(|x-2|=3) means (x) is (3) units away from (2), so (x=-1,5). Place the distance on both sides of the center.(|x-2|=3) का अर्थ है (x), (2) से (3) इकाई दूर है, इसलिए (x=-1,5)। केंद्र से दोनों ओर दूरी लगाएँ।
The direct answer is option A: \(-\sqrt{12}\) lies in \((-4,-3)\). Since \(9<12<16\), taking square roots gives \(3<\sqrt{12}<4\). Multiplying the whole inequality by \(-1\) reverses the signs: \(-3>-\sqrt{12}>-4\), which can be written as \(-4< -\sqrt{12}< -3\). Option A is correct. Option B, \((-3,-2)\), is too close to zero; the number is approximately \(-3.46\). Option C is positive, but \(-\sqrt{12}\) is negative. Option D, \((-5,-4)\), is too far left because the value is greater than \(-4\). Common mistake: when multiplying an inequality by a negative number, reverse its direction.सीधा उत्तर विकल्प A है: \(-\sqrt{12}\), \((-4,-3)\) में स्थित है। क्योंकि \(9<12<16\), वर्गमूल लेने पर \(3<\sqrt{12}<4\) मिलता है। पूरी असमता को \(-1\) से गुणा करने पर चिह्नों की दिशा बदलती है: \(-3>-\sqrt{12}>-4\), जिसे क्रम में \(-4<-\sqrt{12}<-3\) लिखते हैं। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, \((-3,-2)\), शून्य के बहुत पास है; संख्या लगभग \(-3.46\) है। विकल्प C धनात्मक अंतराल है, जबकि \(-\sqrt{12}\) ऋणात्मक है। विकल्प D, \((-5,-4)\), बहुत बाईं ओर है, क्योंकि मान \(-4\) से बड़ा है। सामान्य गलती: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमता का चिह्न उलटता है।
This decimal is non-terminating and non-repeating, so it is irrational and lies between (0) and (1). Identify rationality by the decimal pattern.यह दशमलव अनावर्ती और असांत है, इसलिए अपरिमेय है और (0) से (1) के बीच है। दशमलव पैटर्न देखकर परिमेयता पहचानें।
The principal square root is positive. Since \(3.1^2=3.1\times3.1=9.61\), it follows that \(\sqrt{9.61}=3.1\). Option B is incorrect because \(3.01^2=9.0601\), not \(9.61\). In the exam, verify a decimal square by multiplying the number by itself.\(\sqrt{9.61}\) का धनात्मक मान लिया जाता है। चूँकि \(3.1^2=3.1\times3.1=9.61\), इसलिए \(\sqrt{9.61}=3.1\)। विकल्प B का वर्ग \(9.0601\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में दशमलव संख्या का वर्ग निकालकर मूल की जाँच करें।
Both numbers are positive, so their squares can be compared. \(x^2=\left(\frac{17}{10}\right)^2=\frac{289}{100}=2.89\), whereas \(y^2=(\sqrt{3})^2=3\). Thus, \(x^2<y^2\) implies \(x<y\), so \(x\) lies to the left on the number line. The distractor \(y\) is incorrect because \(y\approx1.732\), while \(x=1.7\). Exam tip: For positive numbers, comparing their squares is often easier than comparing the numbers directly.दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं, इसलिए तुलना करने के लिए उनके वर्ग कर सकते हैं। \(x^2=\left(\frac{17}{10}\right)^2=\frac{289}{100}=2.89\), जबकि \(y^2=(\sqrt{3})^2=3\)। अतः \(x^2<y^2\) से \(x<y\), इसलिए संख्या रेखा पर \(x\) बाईं ओर होगा। \(y\) बाईं ओर नहीं हो सकता क्योंकि उसका मान लगभग \(1.732\), जबकि \(x=1.7\) है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्याओं की तुलना वर्ग करके की जा सकती है।
A negative number lies to the left of (0), and its distance is its absolute value (\frac{7}{4}). Identify direction and distance separately.ऋणात्मक संख्या (0) के बाएँ होती है और दूरी उसका निरपेक्ष मान (\frac{7}{4}) है। दिशा और दूरी को अलग-अलग पहचानें।
The direct answer is option A: \(3\). Evaluate each perfect square first: \(\sqrt{25}=5\) and \(\sqrt{4}=2\). Therefore \(\sqrt{25}-\sqrt{4}=5-2=3\). Option A is correct. Option B, 7, would result from adding 5 and 2, not subtracting them. Option C, 21, does not follow from either the square roots or their difference. Option D, \(\sqrt{21}\), incorrectly combines the radicands; in general, \(\sqrt{25}-\sqrt{4}\ne\sqrt{21}\). The number 3 is represented three units to the right of zero on the number line. Memory cue: simplify perfect-square roots before performing the operation.सीधा उत्तर विकल्प A है: \(3\)। पहले पूर्ण वर्गों के वर्गमूल निकालें: \(\sqrt{25}=5\) और \(\sqrt{4}=2\)। इसलिए \(\sqrt{25}-\sqrt{4}=5-2=3\)। विकल्प A सही है। विकल्प B, 7, तब मिलता जब 5 और 2 को जोड़ा जाता, जबकि यहाँ घटाना है। विकल्प C, 21, वर्गमूलों या उनके अंतर से प्राप्त नहीं होता। विकल्प D, \(\sqrt{21}\), मूलांकों को गलत ढंग से जोड़ता है; सामान्यतः \(\sqrt{25}-\sqrt{4}\ne\sqrt{21}\)। संख्या 3 को संख्या रेखा पर शून्य से तीन इकाई दाईं ओर दिखाया जाता है। याद रखें: पहले पूर्ण वर्गों के वर्गमूल सरल करें, फिर जोड़ या घटाव करें।
(\sqrt{8}=2\sqrt{2}), so the midpoint is (\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}). Simplify first, then average.(\sqrt{8}=2\sqrt{2}), इसलिए मध्य बिंदु (\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}) है। सरलीकरण के बाद औसत लें।
For negative numbers, the one with larger magnitude is farther left, so (-\frac{5}{6}<-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}). Compare positive values first, then reverse the order.ऋणात्मक संख्याओं में अधिक परिमाण वाली संख्या अधिक बाएँ होती है, इसलिए क्रम (-\frac{5}{6}<-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}) है। पहले धनात्मक मानों की तुलना करें, फिर क्रम उलटें।
√50 = √(25 × 2) = 5√2. Using √2 ≈ 1.4142 gives √50 ≈ 5 × 1.4142 = 7.071, which is closest to 7.07. Also, 7² < 50 < 8², so the value lies between 7 and 8.√50 = √(25 × 2) = 5√2। √2 ≈ 1.4142 रखने पर √50 ≈ 5 × 1.4142 = 7.071, जो 7.07 के सबसे निकट है। साथ ही, 7² < 50 < 8², इसलिए इसका मान 7 और 8 के बीच है।
(\sqrt{9}=3), and moving left means subtracting, so (P=4-3=1). In direction questions, simplify the distance first.(\sqrt{9}=3), और बाएँ जाने पर घटाते हैं, इसलिए (P=4-3=1)। दिशा वाले प्रश्न में पहले दूरी सरल करें।
(\pi\approx3.14) and (\sqrt{10}\approx3.16), so (\pi<\sqrt{10}). Good approximations help compare close irrationals.(\pi\approx3.14) और (\sqrt{10}\approx3.16), इसलिए (\pi<\sqrt{10})। निकट अपरिमेयों की तुलना में अच्छे अनुमान उपयोगी होते हैं।
Because (4^2+1^2=17), the hypotenuse will be (\sqrt{17}). Pythagoras theorem is useful for square-root construction on the number line.क्योंकि (4^2+1^2=17), इसलिए कर्ण (\sqrt{17}) होगा। संख्या रेखा पर वर्गमूल निर्माण में पाइथागोरस प्रमेय उपयोगी है।
(\sqrt{5}\approx2.236) and (\sqrt{2}\approx1.414), so the difference is about (0.822). Use short approximations to locate differences of irrationals.(\sqrt{5}\approx2.236) और (\sqrt{2}\approx1.414), इसलिए अंतर लगभग (0.822) है। अपरिमेयों के अंतर का स्थान निकालने के लिए छोटे अनुमान उपयोग करें।
Since \(4^2=16<18<25=5^2\), it follows that \(4<\sqrt{18}<5\). Therefore, \(\sqrt{18}\) lies between 4 and 5 on the number line. Option B is incorrect because \(\sqrt{18}>4\). Exam tip: compare the number with the nearest consecutive perfect squares to locate its square root.क्योंकि \(4^2=16<18<25=5^2\), इसलिए \(4<\sqrt{18}<5\)। अतः \(\sqrt{18}\) संख्या रेखा पर 4 और 5 के बीच स्थित होगा। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(\sqrt{18}>4\)। परीक्षा में वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें।
The distance from (2.357) to (2.36) is (0.003), and to (2.35) is (0.007). The smaller distance gives the closer point.(2.357) की (2.36) से दूरी (0.003) और (2.35) से दूरी (0.007) है। छोटी दूरी वाला बिंदु अधिक निकट होता है।
The direct answer is option A: between -3 and -2. Since \\(2^2=4<7<9=3^2\\), we have \\(2<\\sqrt7<3\\). Multiplying this inequality by -1 reverses both inequality signs, giving \\(-3<-\\sqrt7<-2\\). Therefore \\(-\\sqrt7\\) lies between the consecutive integers -3 and -2. Option A is correct. Option B, -2 and -1, is too close to zero; the number is approximately -2.65. Option C contains positive numbers, but \\(-\\sqrt7\\) is negative. Option D, -4 and -3, is too far left because \\(-2.65\\) is greater than -3. The key exam rule is that multiplying an inequality by a negative number reverses its signs.सीधा उत्तर विकल्प A है: -3 और -2 के बीच। क्योंकि \\(2^2=4<7<9=3^2\\), इसलिए \\(2<\\sqrt7<3\\)। इस असमानता को -1 से गुणा करने पर चिह्न उलटते हैं और मिलता है \\(-3<-\\sqrt7<-2\\)। अतः \\(-\\sqrt7\\) लगातार पूर्णांकों -3 और -2 के बीच है। विकल्प A सही है। विकल्प B, -2 और -1, शून्य के अधिक पास है; संख्या लगभग -2.65 है। विकल्प C में धनात्मक संख्याएँ हैं, जबकि \\(-\\sqrt7\\) ऋणात्मक है। विकल्प D, -4 और -3, बहुत बाईं ओर है, क्योंकि -2.65, -3 से बड़ा है। परीक्षा में याद रखें: ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता के चिह्न उलट जाते हैं।
( \frac{17}{5}=3.4 ), so the point lies between (3) and (4). Convert the fraction to a decimal to locate it.( \frac{17}{5}=3.4 ), इसलिए बिंदु (3) और (4) के बीच होगा। भिन्न को दशमलव में बदलकर स्थान तय करें।
