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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic, students learn how real numbers—including rational numbers, irrational numbers and square roots—are located and represented accurately on the number line. They explore scale, order, distance and interval placement, and connect numerical values with geometric positions. This understanding supports the Polynomials chapter by helping students interpret and visualise real zeroes as points on the number line.
Hard · Level 1 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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Since (2^2=4) and (3^2=9), (\sqrt{7}) lies between (2) and (3). In exams, compare squares first.(2^2=4) और (3^2=9), इसलिए (\sqrt{7}) संख्या रेखा पर (2) और (3) के बीच होगा। परीक्षा में पहले वर्गों की तुलना करें।
Because (1.4^2=1.96) and (1.5^2=2.25), (\sqrt{2}) lies between them. For hard questions, use squares of decimals.क्योंकि (1.4^2=1.96) और (1.5^2=2.25), इसलिए (\sqrt{2}) इनके बीच है। कठिन प्रश्नों में दशमलव के वर्ग का प्रयोग करें।
Since (2^2<5<3^2), (\sqrt{5}) lies between (2) and (3), so (-\sqrt{5}) lies between (-3) and (-2). On the negative side, order reverses.क्योंकि (2^2<5<3^2), इसलिए (\sqrt{5}) (2) और (3) के बीच है और ऋणात्मक मान (-3) और (-2) के बीच होगा। ऋणात्मक दिशा में क्रम उलट जाता है।
The midpoint of (0) and (1) is (\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}). To find a midpoint on a number line, take the average.(0) और (1) का मध्य बिंदु (\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}) होता है। संख्या रेखा में मध्य निकालने के लिए औसत लें।
Since (2=\frac{8}{4}), the interval from (0) to (2) has (8) fourth-parts and (\frac{7}{4}) is at the seventh part. Use the denominator to make equal units.क्योंकि (2=\frac{8}{4}), इसलिए (0) से (2) तक (8) चौथाई भाग बनेंगे और (\frac{7}{4}) सातवें भाग पर होगा। हर को समान इकाई बनाने में प्रयोग करें।
Since \(3^2=9\) and \(4^2=16\), we have \(9<10<16\). Taking square roots gives \(3<\sqrt{10}<4\), so \(\sqrt{10}\) lies between 3 and 4. Option B is incorrect because \(\sqrt{10}>\sqrt{9}=3\). Exam tip: To locate a square root, identify the consecutive perfect squares between which its radicand lies.\(3^2=9\) और \(4^2=16\)। चूँकि \(9<10<16\), इसलिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर \(3<\sqrt{10}<4\) प्राप्त होता है। अतः \(\sqrt{10}\), 3 और 4 के बीच स्थित है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\sqrt{10}>\sqrt{9}=3\)। परीक्षा-युक्ति: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके ठीक नीचे और ऊपर वाले पूर्ण वर्ग पहचानें।
The direct answer is option A, between \(-3\) and \(-2\). First convert the fraction: \(-\frac{11}{5}=-2.2\). On the number line, \(-3<-2.2<-2\), so the number lies between the consecutive integers \(-3\) and \(-2\). Option A is correct. Option B, \(-2 ext{ and }-1\), is wrong because \(-2.2 ext{ is less than }-2\), not greater. Option C, 2 and 3, describes positive numbers, while the given fraction is negative. Option D, \(-1 ext{ and }0\), is also too far to the right. A common mistake is thinking that 2.2 lies between 2 and 3 and forgetting that the minus sign reverses the location. On a negative number line, the more negative number is farther left.सीधा उत्तर विकल्प A है: \(-3\) और \(-2\) के बीच। पहले भिन्न को दशमलव में बदलें: \(-\frac{11}{5}=-2.2\)। संख्या रेखा पर \(-3<-2.2<-2\), इसलिए यह लगातार पूर्णांकों \(-3\) और \(-2\) के बीच स्थित है। विकल्प A सही है। विकल्प B, \(-2\) और \(-1\), गलत है क्योंकि \(-2.2\), \(-2\) से छोटा है; वह उसके दाईं ओर नहीं है। विकल्प C, 2 और 3, धनात्मक संख्याओं का अंतराल है, जबकि दी गई संख्या ऋणात्मक है। विकल्प D, \(-1\) और 0, भी बहुत दाईं ओर है। सामान्य भूल यह है कि 2.2 को 2 और 3 के बीच देखकर ऋण चिह्न भूल जाएँ। ऋणात्मक संख्या रेखा में अधिक ऋणात्मक संख्या बाईं ओर होती है।
Distance from (0) is (|x|), so (|x|=3.5) gives (x=\pm3.5). Distance is always a positive measure.(0) से दूरी (|x|) होती है, इसलिए (|x|=3.5) के हल (x=\pm3.5) हैं। दूरी हमेशा धनात्मक माप होती है।
Moving right means addition, so (-1+\frac{7}{3}=\frac{4}{3}). Decide addition or subtraction by direction.दाईं ओर जाने पर जोड़ते हैं, इसलिए (-1+\frac{7}{3}=\frac{4}{3})। दिशा के अनुसार जोड़ या घटाव तय करें।
Because ((\sqrt{2})^2+1^2=3), the hypotenuse is (\sqrt{3}). Successive square roots are constructed using Pythagoras.क्योंकि ((\sqrt{2})^2+1^2=3), अतः कर्ण (\sqrt{3}) होगा। क्रमिक वर्गमूल बनाने में पाइथागोरस का प्रयोग होता है।
(\frac{13}{8}=1.625), so both represent the same point. Convert the fraction into a decimal to identify position.(\frac{13}{8}=1.625), इसलिए दोनों एक ही बिंदु दर्शाते हैं। भिन्न को दशमलव में बदलकर स्थान पहचानें।
Since \(12=4\\times3\) and \(\\sqrt{4}=2\), we get \(\\sqrt{12}=\\sqrt{4\\times3}=2\\sqrt{3}\). Therefore, option A is correct. The squares of \(3\\sqrt{2}\), \(4\\sqrt{3}\), and \(\\sqrt{6}\) are 18, 48, and 6 respectively, so none of them equals \(\\sqrt{12}\). Exam tip: when simplifying a surd, first extract the greatest perfect-square factor from under the radical sign.\(12=4\\times3\) और \(\\sqrt{4}=2\), इसलिए \(\\sqrt{12}=\\sqrt{4\\times3}=2\\sqrt{3}\)। अतः सही विकल्प A है। \(3\\sqrt{2}\), \(4\\sqrt{3}\) और \(\\sqrt{6}\) का वर्ग क्रमशः 18, 48 और 6 होता है, इसलिए वे \(\\sqrt{12}\) के बराबर नहीं हैं। परीक्षा में किसी surd को सरल करने के लिए उसके अंदर पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहले पहचानें।
(\frac{\sqrt{2}}{2}) is irrational and its value lies between (0) and (1). An irrational divided by a non-zero rational remains irrational.(\frac{\sqrt{2}}{2}) अपरिमेय है और इसका मान (0) और (1) के बीच है। अपरिमेय संख्या को परिमेय से भाग देने पर शून्येतर परिमेय के लिए अपरिमेय ही रहती है।
Since (-\sqrt{3}\approx-1.732) and (-\frac{3}{2}=-1.5), (-\sqrt{3}) is farther left. For negative numbers, larger magnitude means farther left.(-\sqrt{3}\approx-1.732) और (-\frac{3}{2}=-1.5), इसलिए (-\sqrt{3}) अधिक बाएँ है। ऋणात्मक संख्याओं में बड़ा परिमाण अधिक बाएँ होता है।
Since (-2.75<-2.7), (A) is to the left on the number line. In negative decimals, the more negative number is farther left.(-2.75<-2.7), इसलिए (A) संख्या रेखा पर बाएँ है। ऋणात्मक दशमलवों की तुलना में अधिक ऋणात्मक संख्या बाएँ होती है।
Points at the same distance from (0) occur on both sides, so the values are (\pm\sqrt{13}). In distance questions, check both directions.(0) से समान दूरी पर दोनों ओर बिंदु होते हैं, इसलिए मान (\pm\sqrt{13}) होंगे। दूरी वाले प्रश्नों में दोनों दिशाएँ जाँचें।
Because (4^2=16) and (5^2=25), (4<\sqrt{20}<5). Perfect-square bounds quickly give the interval.क्योंकि (4^2=16) और (5^2=25), इसलिए (4<\sqrt{20}<5)। पूर्ण वर्गों की सीमा तुरंत अंतराल देती है।
Let \(x=0.333\ldots\). Then \(10x=3.333\ldots\). Subtracting the first equation from the second gives \(9x=3\), so \(x=\frac{1}{3}\). Options B, C and D represent the terminating decimals \(0.3\), \(0.33\) and \(0.333\), respectively, not the infinitely repeating decimal. Exam tip: To convert a repeating decimal into a fraction, assign it to \(x\), multiply by the appropriate power of \(10\), and subtract.मान लें \(x=0.333\ldots\)। तब \(10x=3.333\ldots\)। घटाने पर \(10x-x=3.333\ldots-0.333\ldots\), अर्थात् \(9x=3\), इसलिए \(x=\frac{1}{3}\)। विकल्प B, C और D क्रमशः सीमित दशमलव \(0.3\), \(0.33\) और \(0.333\) दर्शाते हैं, न कि अनंत आवर्ती दशमलव। परीक्षा-युक्ति: किसी आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए उसे \(x\) मानकर उचित घात की \(10\) से गुणा करें और घटाएँ।
(\sqrt{3}\approx1.732), so it lies near (1.732) on the number line. Remember approximations of common square roots.(\sqrt{3}\approx1.732), इसलिए संख्या रेखा पर (1.732) के पास यही होगा। कुछ प्रसिद्ध वर्गमूलों के अनुमान याद रखें।
The midpoint is (\frac{\frac{5}{6}+\frac{7}{6}}{2}=1). For fractions, the average method is safest.मध्य बिंदु (\frac{\frac{5}{6}+\frac{7}{6}}{2}=1) है। भिन्नों के मध्य में औसत विधि सबसे सुरक्षित है।
Since \\(1<\\sqrt{3}<2\\), subtracting \\(\\sqrt{3}\\) from 2 gives \\(0<2-\\sqrt{3}<1\\). Therefore, the number lies in \\((0,1)\\). Its approximate value is 0.268, so the interval \\((1,2)\\) is not possible. Exam tip: estimate the irrational term first, then locate the resulting value.क्योंकि \\(1<\\sqrt{3}<2\\), इसलिए 2 में से \\(\\sqrt{3}\\) घटाने पर \\(0<2-\\sqrt{3}<1\\) प्राप्त होता है। अतः यह \\((0,1)\\) में स्थित है। इसका लगभग मान 0.268 है, इसलिए \\((1,2)\\) वाला विकल्प सही नहीं हो सकता। परीक्षा में पहले \\(\\sqrt{3}\\) का निकटतम मान 1.732 पहचानकर अंतराल की जाँच करें।
Since \(1.25\) has two digits after the decimal point, \(1.25=\frac{125}{100}\). Dividing the numerator and denominator by 25 gives \(\frac{125}{100}=\frac{5}{4}\). Option B, \(\frac{4}{5}\), is the reciprocal of \(\frac{5}{4}\), not its equivalent fraction. Exam tip: convert a terminating decimal to a fraction with denominator \(10^n\), then reduce it to the lowest terms.\(1.25\) एक सांत दशमलव है। दशमलव के बाद दो अंक होने के कारण \(1.25=\frac{125}{100}\) होता है। अंश और हर को 25 से भाग देने पर \(\frac{125}{100}=\frac{5}{4}\) मिलता है। विकल्प B \(\frac{4}{5}\), \(\frac{5}{4}\) का व्युत्क्रम है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: सांत दशमलव को पहले \(10^n\) हर वाली भिन्न में बदलकर सदैव सरल करें।
The direct answer is option A, 2.45. We know \(\sqrt6\approx2.449489\). Compare each candidate with this value. For A, the difference is about \(|2.45-2.449489|\approx0.000511\), which is extremely small. For B, 2.10, the difference is about 0.3495. For C, 2.90, the difference is about 0.4505. For D, 3.20, the difference is about 0.7505. Therefore A is clearly closest. Option B is too low, while C and D are too high and farther away. A useful check is that \(2.45^2=6.0025\), very close to 6, so 2.45 is a strong approximation of \(\sqrt6\). Memory cue: the closest number has the smallest absolute difference, not merely the same rough size.सीधा उत्तर विकल्प A, 2.45 है। \(\sqrt6\approx2.449489\) होता है। अब प्रत्येक विकल्प से अंतर देखें। A के लिए अंतर \(|2.45-2.449489|\approx0.000511\) है, जो बहुत छोटा है। B, 2.10, का अंतर लगभग 0.3495 है। C, 2.90, का अंतर लगभग 0.4505 है। D, 3.20, का अंतर लगभग 0.7505 है। इसलिए 2.45 सबसे निकट है। विकल्प B बहुत छोटा है, जबकि C और D बहुत बड़े और अधिक दूर हैं। एक अच्छा जाँच-तरीका है \(2.45^2=6.0025\) देखना; यह 6 के बहुत पास है, इसलिए 2.45, \(\sqrt6\) का अच्छा अनुमान है। याद रखें: निकटतम संख्या का निरपेक्ष अंतर सबसे छोटा होना चाहिए।
(\frac{9}{7}=1+\frac{2}{7}), so choose the second seventh part after (1). Converting an improper fraction into a mixed form is useful.(\frac{9}{7}=1+\frac{2}{7}), इसलिए (1) के बाद दूसरा सातवाँ भाग चुनेंगे। अपूर्णांक को मिश्र संख्या में बदलना उपयोगी है।
The midpoint is (\frac{-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{3}{2}). Pay attention to signs in negative fractions.मध्य बिंदु (\frac{-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{3}{2}) है। ऋणात्मक भिन्नों में संकेत पर ध्यान दें।
