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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic, students learn how real numbers—including rational numbers, irrational numbers and square roots—are located and represented accurately on the number line. They explore scale, order, distance and interval placement, and connect numerical values with geometric positions. This understanding supports the Polynomials chapter by helping students interpret and visualise real zeroes as points on the number line.
Expert · Level 3 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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( \sqrt{31}\approx5.568 ), so (5-\sqrt{31}\approx-0.568). Always check the sign in root subtraction.( \sqrt{31}\approx5.568 ), इसलिए (5-\sqrt{31}\approx-0.568) है। घटाव वाले मूलों में चिह्न अवश्य जाँचें।
Since \(12^2=144<145<169=13^2\), we get \(12<\sqrt{145}<13\). Comparing this with \(m<\sqrt{145}<m+1\) gives \(m=12\). Option 13 is incorrect because \(\sqrt{145}<13\), so \(13<\sqrt{145}\) is not true. Exam tip: the integer part of a square root is the greatest integer whose square is less than or equal to the given number.क्योंकि \(12^2=144<145<169=13^2\), इसलिए \(12<\sqrt{145}<13\)। इसकी तुलना \(m<\sqrt{145}<m+1\) से करने पर \(m=12\) मिलता है। विकल्प 13 गलत है, क्योंकि \(\sqrt{145}<13\), इसलिए \(13<\sqrt{145}\) सत्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: किसी संख्या के वर्गमूल का पूर्णांक भाग वह सबसे बड़ा पूर्णांक होता है जिसका वर्ग उस संख्या से छोटा या बराबर हो।
Since \(1.3^2=1.69\), we have \(\sqrt{1.69}=1.3\). The negative sign outside the radical makes the result negative, so \(-\sqrt{1.69}=-1.3\). Option B ignores the negative sign, while option D gives the radicand itself instead of its square root. Exam tip: find the square root first and then apply any sign outside the radical.क्योंकि \(1.3^2=1.69\), इसलिए \(\sqrt{1.69}=1.3\)। मूलांक के बाहर लगा ऋण चिह्न परिणाम को ऋणात्मक बना देता है, अतः \(-\sqrt{1.69}=-1.3\)। विकल्प B में ऋण चिह्न की उपेक्षा की गई है, जबकि विकल्प D में वर्गमूल निकालने के बजाय मूल संख्या ही लिख दी गई है। परीक्षा-युक्ति: पहले दशमलव संख्या का वर्गमूल ज्ञात करें, फिर बाहर के चिह्न को लागू करें।
Since \(\sqrt{144}=12\), we get \(x=\frac{12}{5}\). Therefore, \(x\) is represented by the point \(\frac{12}{5}\) on the number line. Exam tip: simplify the square root first and then divide by 5; \(\frac{144}{5}\) results from skipping the square-root step.क्योंकि \(\sqrt{144}=12\), इसलिए \(x=\frac{12}{5}\) होगा। अतः संख्या रेखा पर \(x\) को \(\frac{12}{5}\) के बिंदु द्वारा दर्शाया जाएगा। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग का वर्गमूल निकालें और फिर प्राप्त संख्या को हर 5 से भाग दें; \(\frac{144}{5}\) में वर्गमूल निकालने के चरण को छोड़ दिया गया है।
The correct answer is option B: \(\sqrt{15}<3.88\). To compare carefully, square both positive numbers. We have \(3.88^2=15.0544\), while \((\sqrt{15})^2=15\). Since both numbers are positive and \(15<15.0544\), it follows that \(\sqrt{15}<3.88\). Indeed, \(\sqrt{15}\approx3.87298\). Option A reverses the true inequality. Option B is correct because the square-root value is slightly smaller. Option C is wrong because 3.88 is not the exact square root of 15; its square is 15.0544, not 15. Option D says 3.88 is less than 3, which is plainly false because 3.88 is greater than 3. On a number line, \(\sqrt{15}\) lies just to the left of 3.88. Memory cue: for positive numbers, squaring preserves order, so close square-root comparisons can be checked by squaring.सही उत्तर विकल्प B है: \(\sqrt{15}<3.88\)। दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं, इसलिए तुलना करने के लिए दोनों का वर्ग कर सकते हैं। \(3.88^2=15.0544\), जबकि \((\sqrt{15})^2=15\)। क्योंकि \(15<15.0544\), इसलिए \(\sqrt{15}<3.88\)। वास्तव में \(\sqrt{15}\approx3.87298\) होता है। विकल्प A में असमानता उलटी लिखी गई है, इसलिए वह गलत है। विकल्प B सही है क्योंकि वर्गमूल का मान 3.88 से थोड़ा छोटा है। विकल्प C गलत है; 3.88, 15 का सटीक वर्गमूल नहीं है, क्योंकि उसका वर्ग 15.0544 आता है, 15 नहीं। विकल्प D में 3.88<3 कहा गया है, जो स्पष्ट रूप से गलत है। संख्या रेखा पर \(\sqrt{15}\), 3.88 के ठीक बाईं ओर होगा। याद रखें: धनात्मक संख्याओं के लिए वर्ग करने पर क्रम नहीं बदलता।
The direct answer is option C, \\(2-\\sqrt{19}\\). On a number line, moving left means subtracting the distance from the starting coordinate. Starting at 2 and moving \\(\\sqrt{19}\\) units left gives \\(2-\\sqrt{19}\\). Option C is therefore correct. Option A, \\(2+\\sqrt{19}\\), represents moving right, not left. Option B, \\(\\sqrt{19}-2\\), reverses the subtraction and does not describe the coordinate obtained from 2. Option D, \\(-2-\\sqrt{19}\\), starts from -2 rather than from 2, so it moves from the wrong point. Since \\(\\sqrt{19}\\approx4.36\\), the coordinate is about -2.36, which confirms that it is to the left of 2. Direction decides the sign: left subtracts, right adds.सीधा उत्तर विकल्प C, \\(2-\\sqrt{19}\\) है। संख्या रेखा पर बाईं ओर जाने का अर्थ प्रारंभिक निर्देशांक में दूरी घटाना है। 2 से \\(\\sqrt{19}\\) इकाई बाईं ओर जाने पर निर्देशांक \\(2-\\sqrt{19}\\) होगा। इसलिए विकल्प C सही है। विकल्प A, \\(2+\\sqrt{19}\\), दाईं ओर जाने को दर्शाता है, बाईं ओर नहीं। विकल्प B, \\(\\sqrt{19}-2\\), घटाने का क्रम बदल देता है और 2 से चलने का सही निर्देशांक नहीं देता। विकल्प D, \\(-2-\\sqrt{19}\\), -2 से शुरू होता है, जबकि प्रारंभिक बिंदु 2 है। \\(\\sqrt{19}\\approx4.36\\) होने से निर्देशांक लगभग -2.36 आता है, जो 2 के बाईं ओर है। याद रखें: बाईं ओर घटाते हैं और दाईं ओर जोड़ते हैं।
( -\sqrt{10}\approx-3.162 ) and ( -\frac{19}{6}\approx-3.167 ). (-3.20) is not between them, so recheck direction for close negative values.( -\sqrt{10}\approx-3.162 ) और ( -\frac{19}{6}\approx-3.167 ) है। (-3.20) इनके बीच नहीं है, इसलिए निकट ऋणात्मक मानों में दिशा दोबारा जाँचें।
( \sqrt{75}=5\sqrt{3} ) and ( \sqrt{27}=3\sqrt{3} ), so the difference is (2\sqrt{3}). Subtract only like radicals.( \sqrt{75}=5\sqrt{3} ) और ( \sqrt{27}=3\sqrt{3} ), इसलिए अंतर (2\sqrt{3}) है। समान मूलों को ही घटाएँ।
This decimal is non-terminating and non-repeating, so it is irrational. Check carefully whether the pattern repeats or not.यह दशमलव असांत और अनावर्ती है, इसलिए अपरिमेय है। पैटर्न दोहराव वाला है या नहीं, इसे ध्यान से देखें।
Since \(7.2<\sqrt{n}<7.3\) and both boundary values are positive, squaring gives \(7.2^2<n<7.3^2\). Thus, \(51.84<n<53.29\). Only \(52\) lies in this interval; \(51\) and \(50\) are too small, while \(54\) is too large. Exam tip: when both sides of an inequality are positive, squaring preserves its direction.क्योंकि \(7.2<\sqrt{n}<7.3\) और दोनों सीमाएँ धनात्मक हैं, इसलिए वर्ग करने पर \(7.2^2<n<7.3^2\) मिलता है। अर्थात \(51.84<n<53.29\)। दिए गए विकल्पों में केवल \(52\) इस अंतराल में है। \(51\) और \(50\) छोटे हैं, जबकि \(54\) बड़ा है। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्याओं में वर्ग करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती।
( -\frac{31}{9}\approx-3.444 ), so it lies between (-4) and (-3). Convert negative fractions to decimals.( -\frac{31}{9}\approx-3.444 ), इसलिए यह (-4) और (-3) के बीच है। ऋणात्मक भिन्नों को दशमलव में बदलें।
The coordinate of the midpoint is the average of the coordinates of the two endpoints: \(\frac{-3.25+2.75}{2}=\frac{-0.50}{2}=-0.25\). Therefore, option B is correct. Option A is only the sum of the two coordinates, not their average. In the exam, remember to divide the sum by 2 when finding a midpoint.मध्य-बिंदु का निर्देशांक दोनों सिरों के निर्देशांकों का औसत होता है: \(\frac{-3.25+2.75}{2}=\frac{-0.50}{2}=-0.25\)। इसलिए सही उत्तर B है। विकल्प A केवल दोनों निर्देशांकों का योग है, औसत नहीं। परीक्षा में मध्य-बिंदु निकालते समय योग को 2 से भाग देना न भूलें।
Since \(9<10<16\), we get \(3<\sqrt{10}<4\). As 10 is not a perfect square, \(\sqrt{10}\) is irrational. \(\frac{13}{4}\) lies in the interval but is rational. Exam tip: compare nearby perfect squares.क्योंकि \(9<10<16\), इसलिए \(3<\sqrt{10}<4\)। 10 पूर्ण वर्ग नहीं है, अतः \(\sqrt{10}\) अपरिमेय है। \(\frac{13}{4}\) बीच में है, पर परिमेय है। परीक्षा टिप: निकटवर्ती पूर्ण वर्गों की तुलना करें।
Since \(9^2=81<89<100=10^2\), we get \(9<\sqrt{89}<10\). Adding 1 to all parts gives \(10<\sqrt{89}+1<11\), so the expression lies between 10 and 11. Option A bounds only \(\sqrt{89}\), not the complete expression. Exam tip: compare the number with the nearest consecutive perfect squares to bound a square root.क्योंकि \(9^2=81<89<100=10^2\), इसलिए \(9<\sqrt{89}<10\)। दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(10<\sqrt{89}+1<11\), अतः यह 10 और 11 के बीच है। विकल्प A केवल \(\sqrt{89}\) की सीमा बताता है, पूरे व्यंजक की नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल की सीमा ज्ञात करने के लिए दी गई संख्या के निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें।
Since \(8^2<68<9^2\), we have \(8<\sqrt{68}<9\). More precisely, \(\sqrt{68}\approx8.246\), so \(p=3-8.246\approx-5.246\). Therefore, \(p\) lies between −6 and −5. Option B is incorrect because \(p\) is less than −5. Exam tip: For an expression involving a negative square root, estimate the square root first and then perform the subtraction carefully.क्योंकि \(8^2<68<9^2\), इसलिए \(8<\sqrt{68}<9\)। अधिक सटीक रूप से, \(\sqrt{68}\approx8.246\), अतः \(p=3-8.246\approx-5.246\)। इसलिए \(p\), −6 और −5 के बीच स्थित है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(p\), −5 से भी छोटा है। परीक्षा-युक्ति: ऋण चिह्न वाले वर्गमूल वाले व्यंजक का अनुमान लगाते समय पहले वर्गमूल का मान ज्ञात करें, फिर घटाव करें।
Moving left gives ( \frac{9}{10}-\frac{7}{25}=\frac{31}{50} ). Subtract the distance according to direction.बाईं ओर जाने पर ( \frac{9}{10}-\frac{7}{25}=\frac{31}{50} ) मिलता है। दिशा के अनुसार दूरी घटाएँ।
( \sqrt{143}\approx11.96 ) because (11.96^2) is close to (143). Check nearby squares for large roots.( \sqrt{143}\approx11.96 ) क्योंकि (11.96^2) लगभग (143) है। बड़े मूलों में निकट वर्गों से जाँच करें।
√17 ≈ 4.1231 and 33/8 = 4.125. Since 4.13 > 4.125 > 4.1231, c is the greatest and therefore lies farthest to the right on the number line.√17 ≈ 4.1231 और 33/8 = 4.125। चूँकि 4.13 > 4.125 > 4.1231, इसलिए c सबसे बड़ी संख्या है और संख्या रेखा पर सबसे दाईं ओर स्थित होगी।
(7.5^2=56.25) and (7.6^2=57.76), so ( \sqrt{57} ) lies between them. Check squares for decimal bounds.(7.5^2=56.25) और (7.6^2=57.76), इसलिए ( \sqrt{57} ) इनके बीच है। दशमलव सीमा के लिए वर्ग जाँचें।
Evaluate the square root first: \(\sqrt{121}=11\). Thus, \(\frac{\sqrt{121}-4}{7}=\frac{11-4}{7}=\frac{7}{7}=1\). Therefore, the corresponding coordinate on the number line is \(1\). Option D results from dividing only 4 by 7 and ignores the subtraction involving \(\sqrt{121}\). Exam tip: follow the order of operations—evaluate the square root, simplify the numerator, and then divide.वर्गमूल पहले निकालें: \(\sqrt{121}=11\)। इसलिए \(\frac{\sqrt{121}-4}{7}=\frac{11-4}{7}=\frac{7}{7}=1\)। अतः संख्या रेखा पर इसका निर्देशांक \(1\) है। विकल्प D केवल अंश \(4\) को 7 से भाग देने पर मिलता है और उसमें \(\sqrt{121}\) का मान घटाना छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले वर्गमूल और फिर कोष्ठक के अंदर की गणना करें।
Moving ( \frac{7}{5} ) to the right of (-3) gives ( -3+\frac{7}{5}=-\frac{8}{5} ). Use the given interval to choose direction.(-3) से दाईं ओर ( \frac{7}{5} ) जाने पर ( -3+\frac{7}{5}=-\frac{8}{5} ) मिलता है। दिए गए अंतराल से दिशा चुनें।
Since \(169=13^2\) and \(225=15^2\), \(\sqrt{\frac{169}{225}}=\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{225}}=\frac{13}{15}\). The principal square root is non-negative, so the positive values 13 and 15 are used. Option B is the original fraction, not its square root. Exam tip: For a fraction whose numerator and denominator are perfect squares, take the positive square root of each separately.\(169=13^2\) और \(225=15^2\), इसलिए \(\sqrt{\frac{169}{225}}=\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{225}}=\frac{13}{15}\)। यहाँ वर्गमूल का धनात्मक मान लिया जाता है, क्योंकि मुख्य वर्गमूल सदैव गैर-ऋणात्मक होता है। विकल्प B केवल दी गई भिन्न है, उसका वर्गमूल नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्गों के अनुपात का वर्गमूल लेने पर उनके धनात्मक वर्गमूलों का अनुपात लें।
( \sqrt{8}+\frac{1}{10}\approx2.928 ). Therefore (2.90) does not satisfy it and no given value satisfies the condition.( \sqrt{8}+\frac{1}{10}\approx2.928 ) है। इसलिए (2.90) नहीं बल्कि कोई भी दिया मान शर्त पूरी नहीं करता।
C = −43/4 = −10.75, so B and C are at the same position. Since √116 ≈ 10.7703, A ≈ −10.7703. This is less than −10.75, so A lies farthest to the left on the number line.C = −43/4 = −10.75, इसलिए B और C एक ही स्थान पर हैं। चूँकि √116 ≈ 10.7703, इसलिए A ≈ −10.7703। यह −10.75 से छोटी संख्या है, अतः A संख्या रेखा पर सबसे बाईं ओर स्थित है।
(4-\sqrt{6}\approx1.551) and ( \frac{31}{20}=1.55 ), so the first value is slightly greater. Estimate close values accurately.(4-\sqrt{6}\approx1.551) और ( \frac{31}{20}=1.55 ), इसलिए पहला मान थोड़ा बड़ा है। निकट मानों में सटीक अनुमान करें।
