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SubjectsMathematics
In this Class 10 Mathematics topic, students learn how real numbers—including rational numbers, irrational numbers and square roots—are located and represented accurately on the number line. They explore scale, order, distance and interval placement, and connect numerical values with geometric positions. This understanding supports the Polynomials chapter by helping students interpret and visualise real zeroes as points on the number line.
Expert · Level 1 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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( \sqrt{31}\approx5.57 ) and ( \sqrt{12}\approx3.46 ) so the difference is about (2.11). Estimate both roots first.( \sqrt{31}\approx5.57 ) और ( \sqrt{12}\approx3.46 ) इसलिए अंतर लगभग (2.11) है। पहले दोनों मूलों का अनुमान करें।
( |x+3|=2.5 ) means the distance of (x) from (-3) is (2.5). Moving both ways gives (-0.5) and (-5.5).( |x+3|=2.5 ) का अर्थ (x) की (-3) से दूरी (2.5) है। दोनों दिशाओं में जाने पर (-0.5) और (-5.5) मिलते हैं।
( -\sqrt{20}\approx-4.472 ) and (-4.4) is greater than it. The greater number lies to the right on a number line.( -\sqrt{20}\approx-4.472 ) और (-4.4) इससे बड़ा है। संख्या रेखा पर बड़ी संख्या दाईं ओर होती है।
The principal square root is nonnegative, and 1.7 × 1.7 = 2.89. Therefore, √2.89 = 1.7, so it is marked at coordinate 1.7.मुख्य वर्गमूल गैर-ऋणात्मक होता है, और 1.7 × 1.7 = 2.89। इसलिए √2.89 = 1.7 है और इसे 1.7 निर्देशांक पर अंकित किया जाएगा।
The distance is \( \left|\frac{5}{6}-\left(-\frac{7}{3}\right)\right|=\frac{19}{6} \). Always use absolute value for distance.दूरी \( \left|\frac{5}{6}-\left(-\frac{7}{3}\right)\right|=\frac{19}{6} \) है। दूरी में हमेशा निरपेक्ष मान लगाएँ।
\(\sqrt{18}\approx 4.243\) and \(\sqrt{19}\approx 4.359\). Since \(4.243<4.3<4.359\), the value 4.3 lies between the two square roots. The value 4.1 is less than \(\sqrt{18}\), while 4.5 is greater than \(\sqrt{19}\). In the exam, estimate the decimal values of the relevant square roots to compare them quickly.\(\sqrt{18}\approx 4.243\) और \(\sqrt{19}\approx 4.359\) हैं। चूँकि \(4.243<4.3<4.359\), इसलिए 4.3 दोनों वर्गमूलों के बीच स्थित है। 4.1, \(\sqrt{18}\) से छोटा है और 4.5, \(\sqrt{19}\) से बड़ा है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों के लिए संबंधित पूर्णांकों के वर्गमूलों का दशमलव मान अनुमानित करें।
( \sqrt{10}\approx3.162 ), so (2-\sqrt{10}\approx-1.162). Estimation is important in root subtraction.( \sqrt{10}\approx3.162 ) इसलिए (2-\sqrt{10}\approx-1.162) है। घटाव वाले मूल में अनुमान जरूरी है।
Since \(7^2=49<57<64=8^2\), we have \(7<\sqrt{57}<8\). Comparing this with \(m<\sqrt{57}<m+1\) gives \(m=7\). Option 6 is too small because \(6^2=36<57\), while 8 is an upper bound, not the required integer. Exam tip: locate a square root between two consecutive perfect squares to find its integer part.क्योंकि \(7^2=49<57<64=8^2\), इसलिए \(7<\sqrt{57}<8\)। दी गई असमता में यह \(m=7\) से मेल खाता है। विकल्प 6 गलत है क्योंकि \(6^2=36<57\), जबकि 8 से \(\sqrt{57}\) छोटा है। परीक्षा टिप: वर्गमूल का पूर्णांक भाग ज्ञात करने के लिए संख्या को दो क्रमागत पूर्ण वर्गों के बीच रखें।
\(\sqrt{0.36}=0.6\) because \(0.6^2=0.36\). The negative sign outside the radical makes the entire value negative, so \(-\sqrt{0.36}=-0.6\). Option B ignores the outside negative sign, while C and D have incorrect decimal values. Exam tip: first evaluate the principal square root, then apply any sign outside the radical.\(\sqrt{0.36}=0.6\), क्योंकि \(0.6^2=0.36\)। मूल चिह्न के बाहर लगा ऋण चिह्न पूरे मान को ऋणात्मक बना देता है, इसलिए \(-\sqrt{0.36}=-0.6\)। विकल्प B में ऋण चिह्न छूट गया है, जबकि C और D में दशमलव मान गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले वर्गमूल का धनात्मक मान निकालें, फिर बाहर के चिह्न का प्रभाव लगाएँ।
Since \(\sqrt{81}=9\), we get \(x=\frac{9}{4}\). Option B incorrectly uses 81 instead of its square root, while options C and D do not result from the given expression. In the exam, simplify the square root first and then perform the division.क्योंकि \(\sqrt{81}=9\), इसलिए \(x=\frac{9}{4}\) होगा। विकल्प B में वर्गमूल निकालने के बजाय 81 को सीधे लिया गया है, जबकि विकल्प C और D सही सरलीकरण नहीं हैं। परीक्षा में पहले वर्गमूल का मान निकालकर फिर भाग करना याद रखें।
( \sqrt{5}\approx2.236 ), which is slightly less than (2.24). Compare close decimals to more places.( \sqrt{5}\approx2.236 ) है और यह (2.24) से थोड़ा छोटा है। निकट दशमलवों में अधिक स्थानों तक तुलना करें।
Moving left on the number line means subtracting the given distance from the starting coordinate. Hence, \(C=-1-\sqrt{6}\). Option B adds the distance and therefore represents a point to the right of \(-1\). Exam tip: subtract distances when moving left and add them when moving right.संख्या रेखा पर बाईं ओर जाने का अर्थ है दिए गए निर्देशांक में दूरी घटाना। इसलिए \(C=-1-\sqrt{6}\) होगा। विकल्प B में दूरी जोड़ी गई है, इसलिए वह बिंदु \(-1\) के दाईं ओर होगा। परीक्षा-युक्ति: संख्या रेखा पर बाईं दिशा के लिए ऋणात्मक और दाईं दिशा के लिए धनात्मक परिवर्तन करें।
The point exactly midway between two numbers is their arithmetic mean. For \(\frac25\) and \(\frac35\), add them and divide by 2: \(\frac{\frac25+\frac35}{2}=\frac{\frac55}{2}=\frac12\). Therefore the midpoint is \(\frac12\), so option A is correct.
This also makes sense geometrically. The two endpoints are 0.4 and 0.6 on the number line, and 0.5 is equally distant from each: the distance from 0.4 to 0.5 is 0.1, as is the distance from 0.5 to 0.6. The values \(\frac52\), \(\frac15\), and \(\frac45\) do not have equal distances from both endpoints.दो संख्याओं के ठीक बीच का बिंदु उनका अंकगणितीय औसत होता है। \(\frac25\) और \(\frac35\) को जोड़कर 2 से भाग दें: \(\frac{\frac25+\frac35}{2}=\frac{\frac55}{2}=\frac12\)। इसलिए मध्य बिंदु \(\frac12\) है और विकल्प A सही है।
इसे संख्या रेखा पर भी समझ सकते हैं। दोनों सिरों के दशमलव मान 0.4 और 0.6 हैं, जबकि 0.5 दोनों से समान दूरी पर है। 0.4 से 0.5 की दूरी 0.1 और 0.5 से 0.6 की दूरी भी 0.1 है। \(\frac52\), \(\frac15\) और \(\frac45\) दोनों सिरों से समान दूरी पर नहीं हैं, इसलिए वे मध्य बिंदु नहीं हो सकते।
( \sqrt{27}=3\sqrt{3} ) and ( \sqrt{12}=2\sqrt{3} ), so the difference is ( \sqrt{3} ). Subtract like radicals.( \sqrt{27}=3\sqrt{3} ) और ( \sqrt{12}=2\sqrt{3} ) इसलिए अंतर ( \sqrt{3} ) है। समान मूलों को घटाएँ।
The decimal expansion is non-terminating and non-repeating because the number of 7s after each 2 keeps increasing. Therefore, it cannot be expressed in the form p/q and is irrational. A rational number has a terminating or recurring decimal expansion, so option B is incorrect. Exam tip: a non-terminating, non-repeating decimal is irrational.इस संख्या का दशमलव प्रसार अनंत है और उसमें अंकों का कोई निश्चित आवर्ती समूह नहीं दोहराता; 2 के बाद 7 की संख्या लगातार बढ़ती जाती है। इसलिए इसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता और यह अपरिमेय संख्या है। परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या आवर्ती। परीक्षा-टिप: अनंत, अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें।
Since \(6.4<\sqrt{n}<6.5\), squaring both sides gives \(6.4^2<n<6.5^2\). Therefore, \(40.96<n<42.25\). Among the given choices, only 42 lies in this interval. The values 40, 45 and 49 fall outside it. Exam tip: for positive quantities, squaring preserves the direction of the inequality.क्योंकि \(6.4<\sqrt{n}<6.5\), दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(6.4^2<n<6.5^2\) मिलता है। अतः \(40.96<n<42.25\)। दिए गए विकल्पों में केवल 42 इस सीमा में है। 40 सीमा से कम है, जबकि 45 और 49 सीमा से अधिक हैं। परीक्षा में ऐसी असमानता में धनात्मक संख्याओं का वर्ग करते समय असमानता की दिशा समान रहती है।
\(-\frac{17}{5}=-3.4\). On the number line, \(-3.4\) lies to the right of \(-4\) and to the left of \(-3\), so it lies between \(-4\) and \(-3\). Exam tip: for negative numbers, the number with the greater magnitude is farther to the left on the number line.\(-\frac{17}{5}=-3.4\) होता है। संख्या रेखा पर \(-3.4\), \(-4\) के दाईं ओर और \(-3\) के बाईं ओर स्थित है; इसलिए यह \(-4\) और \(-3\) के बीच है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या अधिक ऋणात्मक होती है, वह संख्या रेखा पर अधिक बाईं ओर होती है।
The midpoint of two points \(x_1\) and \(x_2\) is \(\frac{x_1+x_2}{2}\). Therefore, \(\frac{-2.75+1.25}{2}=\frac{-1.50}{2}=-0.75\), so option A is correct. Option B is only the sum of the two coordinates, not their midpoint. Exam tip: always divide the sum of the coordinates by 2 to find a midpoint.दो बिंदुओं \(x_1\) और \(x_2\) का मध्य-बिंदु \(\frac{x_1+x_2}{2}\) से प्राप्त होता है। अतः \(\frac{-2.75+1.25}{2}=\frac{-1.50}{2}=-0.75\)। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B केवल दोनों संख्याओं का योग है, मध्य-बिंदु नहीं। परीक्षा-युक्ति: मध्य-बिंदु के लिए योग को हमेशा 2 से भाग दें।
The principal square root is non-negative, and 0.09 × 0.09 = 0.0081. Therefore, √0.0081 = 0.09, so the point is at 0.09 on the number line.मुख्य वर्गमूल गैर-ऋणात्मक होता है, और 0.09 × 0.09 = 0.0081। इसलिए √0.0081 = 0.09 है और संख्या रेखा पर बिंदु 0.09 पर होगा।
Since \(6^2=36<37<49=7^2\), we get \(6<\sqrt{37}<7\). Adding 1 to all parts gives \(7<\sqrt{37}+1<8\), so the expression lies between 7 and 8. Exam tip: To bound a square root, compare the number with the consecutive perfect squares around it. Option B is incorrect because it represents the interval for \(\sqrt{37}\), not for \(\sqrt{37}+1\).क्योंकि \(6^2=36<37<49=7^2\), इसलिए \(6<\sqrt{37}<7\)। दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर \(7<\sqrt{37}+1<8\), अतः यह 7 और 8 के बीच स्थित है। परीक्षा-युक्ति: किसी वर्गमूल की सीमा ज्ञात करने के लिए दी गई संख्या के ठीक नीचे और ऊपर वाले पूर्ण वर्गों की तुलना करें। विकल्प B गलत है, क्योंकि उसमें \(\sqrt{37}+1\) के बजाय केवल \(\sqrt{37}\) की सीमा दर्शाई गई है।
Since \(6<\sqrt{45}<7\), multiplying by \(-1\) reverses the inequalities: \(-7< -\sqrt{45}< -6\). Adding 2 throughout gives \(-5<p<-4\). Therefore, \(p\) lies between \(-5\) and \(-4\). Option B is incorrect because \(p\) is less than \(-4\). Exam tip: Compare a square root with neighbouring perfect squares instead of calculating its decimal value.क्योंकि \(6<\sqrt{45}<7\), इसलिए \(-7< -\sqrt{45}< -6\)। दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर \(-5<p<-4\) प्राप्त होता है। अतः \(p\), \(-5\) और \(-4\) के बीच स्थित है। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(p\) का मान \(-4\) से भी छोटा है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल का दशमलव निकालने के बजाय उसके निकटवर्ती पूर्ण वर्गों से तुलना करें।
Here, b = 14/5 = 2.8 and c = 2.81, while √8 ≈ 2.828. Thus, 2.828 > 2.81 > 2.8, so a is greatest.यहाँ b = 14/5 = 2.8 और c = 2.81 है, जबकि √8 ≈ 2.828। इसलिए 2.828 > 2.81 > 2.8, अतः a सबसे बड़ी संख्या है।
Since \(4.8^2=23.04\) and \(4.9^2=24.01\), and \(23.04<24<24.01\), it follows that \(4.8<\sqrt{24}<4.9\). Options B and D give intervals that are too small, while both endpoints in option C have squares greater than 24. Exam tip: To verify a decimal bound for a square root, compare the squares of its endpoints with the given number.क्योंकि \(4.8^2=23.04\) और \(4.9^2=24.01\) हैं तथा \(23.04<24<24.01\), इसलिए \(4.8<\sqrt{24}<4.9\)। विकल्प B और D बहुत छोटे अंतराल देते हैं, जबकि विकल्प C में दोनों सिरों के वर्ग 24 से बड़े हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी वर्गमूल की दशमलव सीमा जाँचने के लिए सीमा-बिंदुओं के वर्ग की तुलना मूल संख्या से करें।
First evaluate the square root: \(\sqrt{64}=8\). Therefore, \(\frac{\sqrt{64}-3}{5}=\frac{8-3}{5}=\frac{5}{5}=1\). Hence, the expression represents the point 1 on the number line. Option D results from dividing 3 by 5 without correctly evaluating the numerator; evaluate the square root and subtraction before dividing.पहले वर्गमूल निकालें: \(\sqrt{64}=8\)। अतः \(\frac{\sqrt{64}-3}{5}=\frac{8-3}{5}=\frac{5}{5}=1\)। इसलिए संख्या रेखा पर यह बिंदु 1 को निरूपित करता है। विकल्प D केवल अंश \(3\) को 5 से भाग देने पर मिलता है; परीक्षा में पहले वर्गमूल और फिर घटाव करने का क्रम रखें।
Moving ( \frac{5}{4} ) to the right of (-2) gives ( -2+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4} ). Use the given interval to choose the direction.(-2) से दाईं ओर ( \frac{5}{4} ) जाने पर ( -2+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4} ) मिलता है। दिए गए अंतराल से सही दिशा चुनें।
