Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(y=x^2\) में \(y\ge 0\) होता है और ग्राफ (y)-अक्ष के दोनों ओर होता है। परीक्षा में परवलय को (U)-आकार से पहचानें। / For \(y=x^2\), \(y\ge 0\) and the graph lies on both sides of the (y)-axis. In exams, identify the parabola by its (U)-shape.
(-|x|) का आलेख ( |x| ) का (x)-अक्ष में प्रतिबिंब है और शीर्ष ((0,0)) ही रहता है। ऋण चिह्न से (V)-आकार नीचे की ओर खुलता है। / The graph of (-|x|) is the reflection of (|x|) in the (x)-axis, and the vertex remains ((0,0)). The negative sign makes the (V)-shape open downward.
\(\frac{1}{x^2}\) में हर \(x^2\) है, इसलिए (x=0) पर हर शून्य हो जाएगा। भिन्न वाले फलन में हर को पहले जांचें। / In \(\frac{1}{x^2}\), the denominator is \(x^2\), so at (x=0) the denominator becomes zero. In fractional functions, check the denominator first.
\(\lfloor 2.7\rfloor=2\), क्योंकि यह (2.7) से छोटी या बराबर सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या है। ऐसे आलेख में सीढ़ीनुमा भाग याद रखें। / \(\lfloor 2.7\rfloor=2\), because it is the greatest integer less than or equal to (2.7). Remember the step-like shape of this graph.
(|-4|=4), इसलिए ((-4,4)) आलेख पर स्थित है। बिंदु जांचते समय (y=|x|) में (x) रखें। / (|-4|=4), so ((-4,4)) lies on the graph. To check a point, substitute (x) in (y=|x|).
A. (g) का आलेख (5) इकाई ऊपर है/Graph of (g) is (5) units up
Explanation
Simple Explanation
(g(x)=f(x)+5), इसलिए हर (y) मान (5) बढ़ता है। अतः आलेख (5) इकाई ऊपर खिसकता है। / Since (g(x)=f(x)+5), every (y)-value increases by (5). Hence the graph shifts (5) units upward.
(x=0) पर सभी बिंदु (y)-अक्ष पर होते हैं। इसलिए रेखा (x=0) ही (y)-अक्ष है। / All points with (x=0) lie on the (y)-axis. Therefore the line (x=0) is the (y)-axis.
(y=0) पर सभी बिंदु (x)-अक्ष पर होते हैं। इसलिए रेखा (y=0) ही (x)-अक्ष है। / All points with (y=0) lie on the (x)-axis. Therefore the line (y=0) is the (x)-axis.
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+2\ge 2\)। न्यूनतम मान (2) तब मिलता है जब (x=0)। / Since \(x^2\ge 0\), \(x^2+2\ge 2\). The minimum value (2) occurs when (x=0).
(|x|) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए (|x|+3) का न्यूनतम मान (3) है। ऊर्ध्व खिसकाव को ध्यान में रखें। / The minimum of (|x|) is (0), so the minimum of (|x|+3) is (3). Keep the vertical shift in mind.
(x+1) में (y=x) के हर मान में (1) जुड़ता है। इसलिए रेखा (1) इकाई ऊपर खिसकती है। / In (x+1), (1) is added to every value of (y=x). So the line shifts (1) unit upward.
नियत फलन (f(x)=2) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। इसलिए डोमेन सभी वास्तविक संख्याएं हैं। / The constant function (f(x)=2) is defined for every real (x). Hence its domain is all real numbers.
(y=-x) में (x) का गुणांक (-1) है, इसलिए ढाल (-1) है। (y=mx+c) में (m) ढाल होता है। / In (y=-x), the coefficient of (x) is (-1), so the slope is (-1). In (y=mx+c), (m) is the slope.
(x=0) रखने पर (y=0), इसलिए रेखा (y=-x) मूलबिंदु से गुजरती है। रेखीय फलन में सरल बिंदु पहले जांचें। / Putting (x=0) gives (y=0), so the line (y=-x) passes through the origin. Check simple points first in a linear function.
\(x^2+4\) हमेशा (4) या उससे बड़ा है, इसलिए (y=0) नहीं हो सकता। अतः आलेख (x)-अक्ष को नहीं काटता। / \(x^2+4\) is always (4) or greater, so (y=0) is impossible. Hence the graph does not cut the (x)-axis.
(x)-अक्ष पर (y=0), इसलिए \(x^2-4=0\) से \(x=\pm 2\) मिलता है। शून्यक प्रतिच्छेद बताते हैं। / On the (x)-axis, (y=0), so \(x^2-4=0\) gives \(x=\pm 2\). Zeros give the intercepts.
(y)-अक्ष प्रतिच्छेद के लिए (x=0), इसलिए (f(0)=02-4=-4)। प्रतिच्छेद में (x=0) रखना न भूलें। / For the (y)-intercept, (x=0), so (f(0)=02-4=-4). Do not forget to put (x=0) for this intercept.
(y=(-2)2=4), इसलिए बिंदु ((-2,4)) आलेख पर है। वर्ग करते समय कोष्ठक लगाएं। / (y=(-2)2=4), so the point ((-2,4)) lies on the graph. Use brackets while squaring a negative number.
\(\sqrt{9}=3\), इसलिए (y=3) है। वर्गमूल फलन का मुख्य मान धनात्मक लिया जाता है। / \(\sqrt{9}=3\), so (y=3). The principal value of the square root function is taken as positive.
(f(-x)=(-x)3=-x-3=-f(x)), इसलिए यह मूलबिंदु के प्रति सममित है। विषम फलन की पहचान (f(-x)=-f(x)) से करें। / Since (f(-x)=(-x)3=-x-3=-f(x)), it is symmetric about the origin. Identify odd functions by (f(-x)=-f(x)).
(f(-x)=(-x)2=x-2=f(x)), इसलिए आलेख (y)-अक्ष के प्रति सममित है। सम फलन की सममिति याद रखें। / Since (f(-x)=(-x)2=x-2=f(x)), the graph is symmetric about the (y)-axis. Remember symmetry of even functions.
\(\sqrt{x}\) का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। इसलिए परिसर \([0,\infty\)) है। / The value of \(\sqrt{x}\) is always (0) or positive. Hence the range is \([0,\infty\)).
\(x^3\) हर वास्तविक (y) मान दे सकता है। इसलिए इसका परिसर (\(-\infty,\infty\)) है। / \(x^3\) can produce every real (y)-value. So its range is (\(-\infty,\infty\)).
\(x^2\ge 0\), इसलिए (y) का मान (0) या उससे बड़ा होता है। अतः परिसर \([0,\infty\)) है। / Since \(x^2\ge 0\), the value of (y) is (0) or greater. Hence the range is \([0,\infty\)).
(x) और \(y=\frac{1}{x}\) का चिह्न समान होता है। इसलिए आलेख प्रथम और तृतीय चतुर्थांश में होता है। / The signs of (x) and \(y=\frac{1}{x}\) are the same. So the graph lies in the first and third quadrants.
वास्तविक मान के लिए \(x-4\ge 0\), इसलिए \(x\ge 4\)। अतः आलेख (x=4) से शुरू होता है। / For real values, \(x-4\ge 0\), so \(x\ge 4\). Hence the graph starts at (x=4).
\(\sqrt{x}\) में सबसे छोटा अनुमत (x) मान (0) है और \(\sqrt{0}=0\)। इसलिए आलेख ((0,0)) से शुरू होता है। / In \(\sqrt{x}\), the smallest allowed (x)-value is (0), and \(\sqrt{0}=0\). So the graph starts from ((0,0)).
((x-1)2) का न्यूनतम मान (0) तब है जब (x=1), इसलिए शीर्ष ((1,0)) है। कोष्ठक के अंदर को शून्य करें। / The minimum of ((x-1)2) is (0) when (x=1), so the vertex is ((1,0)). Set the inside of the bracket to zero.
