\(a_{12}=4+11\times11=125\) है। परीक्षा में बारहवें पद के लिए (11) बार अंतर जोड़ें। / \(a_{12}=4+11\times11=125\). In exams, add the difference (11) times for the twelfth term.
यहाँ (a=13) और (d=6) है, इसलिए \(a_{14}=13+13\times6=91\) है। परीक्षा में (a_n=a+(n-1)d) लगाएँ। / Here (a=13) and (d=6), so \(a_{14}=13+13\times6=91\). In exams, use (a_n=a+(n-1)d).
(S_n=\frac{n}{2}[12+5(n-1)]) में (n=11) रखने पर (451) मिलता है। परीक्षा में विकल्पों को रखकर भी जल्दी जाँच सकते हैं। / In (S_n=\frac{n}{2}[12+5(n-1)]), putting (n=11) gives (451). In exams, you can also check quickly by substituting options.
\(a_5=38\) और \(a_6=46\), इसलिए योग (84) नहीं बल्कि (84) है। परीक्षा में दोनों पद अलग निकालकर जोड़ें। / \(a_5=38\) and \(a_6=46\), so the sum is (84). In exams, find both terms separately and add them.
(13+(n-1)(-3)=-8) से (n=8) है। परीक्षा में ऋणात्मक पदों के लिए भी वही सूत्र लगाएँ। / From (13+(n-1)(-3)=-8), (n=8). In exams, use the same formula even for negative terms.
\(S_{25}=\frac{25}{2}[16+24\times4]=1400\) है। परीक्षा में (n=25) के लिए ((n-1)=24) लें। / \(S_{25}=\frac{25}{2}[16+24\times4]=1400\). In exams, take ((n-1)=24) for (n=25).
(24=3+3d) से (d=7), इसलिए \(a_7=3+6\times7=45\) है। परीक्षा में पहले अंतर निकालें। / From (24=3+3d), (d=7), so \(a_7=3+6\times7=45\). In exams, find the difference first.
(22+(n-1)5=87) से (n=14) है। परीक्षा में (n-1) को अलग करके पद संख्या निकालें। / From (22+(n-1)5=87), (n=14). In exams, isolate (n-1) to find the term number.
\(a_4=25\) और \(a_8=49\), इसलिए योग (74) है। परीक्षा में दोनों पदों में सही (n) रखें। / \(a_4=25\) and \(a_8=49\), so the sum is (74). In exams, substitute the correct (n) in both terms.
(6d=36) से (d=6) और (a+2d=11) से (a=-1) है। परीक्षा में पहले (d) और फिर पहला पद निकालें। / From (6d=36), (d=6), and from (a+2d=11), (a=-1). In exams, find (d) first and then the first term.
(S_7=\frac{7}{2}[36+6(-2)]=84) है। परीक्षा में ऋणात्मक (d) को कोष्ठक में रखें। / (S_7=\frac{7}{2}[36+6(-2)]=84). In exams, put negative (d) inside brackets.
\(a_{12}-a_5=7d=42\), इसलिए (d=6) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर ध्यान से लें। / \(a_{12}-a_5=7d=42\), so (d=6). In exams, note the difference in positions carefully.
यह (7) के पहले (9) गुणजों का योग है, जो (315) है। परीक्षा में गुणजों की श्रेणी को जल्दी पहचानें। / This is the sum of the first (9) multiples of (7), which is (315). In exams, identify sequences of multiples quickly.
(50-3n=5) से (n=15) है। परीक्षा में घटते रैखिक नियम में चिह्न सही रखें। / From (50-3n=5), (n=15). In exams, keep signs correct in a decreasing linear rule.
\(a_9=54\) और \(a_{11}=70\), इसलिए योग (124) है। परीक्षा में दोनों पद अलग-अलग निकालें। / \(a_9=54\) and \(a_{11}=70\), so the sum is (124). In exams, find both terms separately.
\(114=\frac{6}{2}[8+5d]\) से (d=6) मिलता है। परीक्षा में \(S_n\) सूत्र में (2a) और ((n-1)d) सही रखें। / From \(114=\frac{6}{2}[8+5d]\), (d=6). In exams, keep (2a) and ((n-1)d) correct in the \(S_n\) formula.
(100+(n-1)(-8)=20) से (n=11) है। परीक्षा में घटते पद के लिए ऋणात्मक अंतर लगाएँ। / From (100+(n-1)(-8)=20), (n=11). In exams, use the negative difference for a decreasing term.
चौथे से दसवें पद तक (6) अंतर हैं, इसलिए \(a_{10}=26+6\times6=62\) है। परीक्षा में पद-संख्या का अंतर गिनें। / There are (6) differences from the fourth to the tenth term, so \(a_{10}=26+6\times6=62\). In exams, count the difference in positions.
\(S_{15}=\frac{15}{2}[4+14\times5]=555\) है। परीक्षा में भिन्न आए तो पहले कोष्ठक सरल करें। / \(S_{15}=\frac{15}{2}[4+14\times5]=555\). In exams, simplify the bracket first when a fraction appears.
(a_{12}=20+11(-2)=-2) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में (d) को ऋणात्मक रखें। / (a_{12}=20+11(-2)=-2). In exams, keep (d) negative in a decreasing progression.
योग (3+8+13+18=42) है। परीक्षा में छोटे (n) के लिए सीधे जोड़ना भी तेज होता है। / The sum is (3+8+13+18=42). In exams, direct addition is also fast for small (n).
(5+(n-1)4=41) से (n=10) है। परीक्षा में अंतिम पद को सामान्य पद के बराबर रखें। / From (5+(n-1)4=41), (n=10). In exams, equate the last term to the general term.
तीसरा पद (x+12=25) है, इसलिए (x=13) है। परीक्षा में बीजीय पदों को सीधे समीकरण में रखें। / The third term is (x+12=25), so (x=13). In exams, put algebraic terms directly into an equation.
(4d=20) से (d=5) और (a+2d=15) से (a=5) है। परीक्षा में दो दिए पदों से पहले (d) निकालें। / From (4d=20), (d=5), and from (a+2d=15), (a=5). In exams, find (d) first using two given terms.
\(S_{12}=\frac{12}{2}[18+11\times7]=570\) है। परीक्षा में (2a+(n-1)d) को सही जोड़ें। / \(S_{12}=\frac{12}{2}[18+11\times7]=570\). In exams, add (2a+(n-1)d) correctly.
(30+(n-1)(-3)=0) से (n=11) है। परीक्षा में शून्य पद के लिए समीकरण बनाकर हल करें। / From (30+(n-1)(-3)=0), (n=11). In exams, form and solve an equation for the zero term.
