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Simple Explanation

किसी संख्या \(a\) को बहुपद \(p(x)\) का शून्यक तभी कहा जाता है जब \(p(a)=0\)। यहाँ स्पष्ट रूप से दिया है कि \(p(5)\neq 0\), अतः \(5\) के स्थान पर बहुपद शून्य नहीं बन रहा — इसका अर्थ है \(5\) शून्यक नहीं है। विकल्प B गलत है क्योंकि शून्यक होने की शर्त \(p(5)=0\) है जो पूरी नहीं हुई। विकल्प C भी गलत है क्योंकि दोहरा (repeated) शून्यक होने के लिए पहले शर्त \(p(5)=0\) होनी चाहिए और गुणनखंड की गुणांक संरचना जाँची जाती है; यहाँ तो मूलतः शून्यक नहीं है। विकल्प D गलत है क्योंकि दिए गए मूल्य से निर्णय करना संभव और पर्याप्त है। परीक्‍्षा टिप: किसी संख्या के शून्यक होने की जाँच करने के लिए सीधे उस संख्या को बहुपद में रखकर \(p(a)\) की गणना करें; यदि परिणाम शून्य है तो वही शून्यक है (Factor Theorem)। / A number \(a\) is a zero (root) of a polynomial \(p(x)\) exactly when \(p(a)=0\). Since we are given \(p(5)\neq 0\), substituting \(x=5\) does not make the polynomial zero, so 5 is not a zero. Option B is wrong because being a zero requires \(p(5)=0\). Option C is wrong because a repeated root requires first that \(p(5)=0\) and then multiplicity considerations; here it is not even a root. Option D is incorrect because the evaluation already provides sufficient information. Exam tip: to test whether a value is a root use direct substitution (or apply the Factor Theorem) — if the result is zero it is a root, otherwise it is not.