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Subjects
Class 11 Mathematics Permutations and Combinations Fundamental principle of counting Hard Level 52

अंकों (0,1,2,3,4,5) से पुनरावृत्ति के बिना चार-अंकीय संख्या बनानी है। संख्या (5) से विभाज्य होनी चाहिए। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी?

Using digits (0,1,2,3,4,5) without repetition, how many four-digit numbers divisible by (5) can be formed?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

B. 108

Explanation

Simple Explanation

5 से विभाज्यता के लिए इकाई अंक 0 या 5 होना चाहिए। इकाई अंक 0 होने पर हजारों के स्थान के लिए 1 से 5 तक 5 विकल्प हैं और बीच के दो स्थानों के लिए शेष 4 अंकों में से क्रम सहित 2 अंक चुने जाते हैं: \(5\times4\times3=60\)। इकाई अंक 5 होने पर हजारों के स्थान पर 0 नहीं आ सकता, इसलिए 1 से 4 तक 4 विकल्प हैं; बीच के स्थानों के लिए \(4\times3\) विकल्प हैं: \(4\times4\times3=48\)। अतः कुल \(60+48=108\) संख्याएँ बनेंगी। 96 का विकल्प इसलिए गलत है क्योंकि दोनों अंतिम-अंक वाले मामलों में हजारों के स्थान पर 0 की पाबंदी समान नहीं होती। परीक्षा टिप: 0 वाले अंकों की संख्या बनाते समय पहले अंक के शून्य न होने की शर्त अलग से लगाएँ। / For divisibility by 5, the units digit must be 0 or 5. If the units digit is 0, there are 5 choices (1 to 5) for the thousands digit, followed by \(4\times3\) arrangements for the two middle places: \(5\times4\times3=60\). If the units digit is 5, the thousands digit cannot be 0, so it has 4 choices (1 to 4), and the middle places can be filled in \(4\times3\) ways: \(4\times4\times3=48\). Hence, the total is \(60+48=108\). Option 96 is incorrect because the restriction on 0 in the thousands place is not the same in both ending-digit cases. Exam tip: When 0 is among the digits, handle the leading-digit restriction separately.

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अंकों (0,1,2,3,4,5) से पुनरावृत्ति के बिना चार-अंकीय संख्या बनानी है। संख्या (5) से विभाज्य होनी चाहिए। कुल कितनी संख्याएँ बनेंगी? / Using digits (0,1,2,3,4,5) without repetition, how many four-digit numbers divisible by (5) can be formed?

Correct Answer: B. 108. Explanation: 5 से विभाज्यता के लिए इकाई अंक 0 या 5 होना चाहिए। इकाई अंक 0 होने पर हजारों के स्थान के लिए 1 से 5 तक 5 विकल्प हैं और बीच के दो स्थानों के लिए शेष 4 अंकों में से क्रम सहित 2 अंक चुने जाते हैं: \(5\times4\times3=60\)। इकाई अंक 5 होने पर हजारों के स्थान पर 0 नहीं आ सकता, इसलिए 1 से 4 तक 4 विकल्प हैं; बीच के स्थानों के लिए \(4\times3\) विकल्प हैं: \(4\times4\times3=48\)। अतः कुल \(60+48=108\) संख्याएँ बनेंगी। 96 का विकल्प इसलिए गलत है क्योंकि दोनों अंतिम-अंक वाले मामलों में हजारों के स्थान पर 0 की पाबंदी समान नहीं होती। परीक्षा टिप: 0 वाले अंकों की संख्या बनाते समय पहले अंक के शून्य न होने की शर्त अलग से लगाएँ। / For divisibility by 5, the units digit must be 0 or 5. If the units digit is 0, there are 5 choices (1 to 5) for the thousands digit, followed by \(4\times3\) arrangements for the two middle places: \(5\times4\times3=60\). If the units digit is 5, the thousands digit cannot be 0, so it has 4 choices (1 to 4), and the middle places can be filled in \(4\times3\) ways: \(4\times4\times3=48\). Hence, the total is \(60+48=108\). Option 96 is incorrect because the restriction on 0 in the thousands place is not the same in both ending-digit cases. Exam tip: When 0 is among the digits, handle the leading-digit restriction separately.