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Subjects
Class 11 Mathematics Relations and Functions Relations Hard Level 26

यदि \(R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x-y>0\}\), तो \(R\) की प्रकृति क्या है?

If \(R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x-y>0\}\), what is the nature of \(R\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. अप्रतिवर्ती और संक्रामीIrreflexive and transitive

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(x-y>0\) का अर्थ \(x>y\) है। किसी भी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए \(x-x=0\) होता है, और \(0>0\) असत्य है; अतः \(R\) अप्रतिवर्ती है। यदि \(x>y\) और \(y>z\), तो \(x>z\), इसलिए यह संक्रामी भी है। यह सममित नहीं है, क्योंकि \(x>y\) से सामान्यतः \(y>x\) नहीं होता; इसलिए इसे समतुल्यता संबंध भी नहीं कहा जा सकता। परीक्षा-युक्ति: ‘>’ और ‘<’ जैसे strict inequalities वाले संबंध प्रायः अप्रतिवर्ती और संक्रामी होते हैं। / Here, \(x-y>0\) means \(x>y\). For every \(x\in\mathbb{R}\), \(x-x=0\), and \(0>0\) is false; hence, \(R\) is irreflexive. If \(x>y\) and \(y>z\), then \(x>z\), so the relation is also transitive. It is not symmetric because \(x>y\) does not generally imply \(y>x\); therefore, it is not an equivalence relation. Exam tip: Relations defined by strict inequalities such as ‘>’ or ‘<’ are generally irreflexive and transitive.

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यदि \(R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x-y>0\}\), तो \(R\) की प्रकृति क्या है? / If \(R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x-y>0\}\), what is the nature of \(R\)?

Correct Answer: A. अप्रतिवर्ती और संक्रामी / Irreflexive and transitive. Explanation: यहाँ \(x-y>0\) का अर्थ \(x>y\) है। किसी भी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए \(x-x=0\) होता है, और \(0>0\) असत्य है; अतः \(R\) अप्रतिवर्ती है। यदि \(x>y\) और \(y>z\), तो \(x>z\), इसलिए यह संक्रामी भी है। यह सममित नहीं है, क्योंकि \(x>y\) से सामान्यतः \(y>x\) नहीं होता; इसलिए इसे समतुल्यता संबंध भी नहीं कहा जा सकता। परीक्षा-युक्ति: ‘>’ और ‘<’ जैसे strict inequalities वाले संबंध प्रायः अप्रतिवर्ती और संक्रामी होते हैं। / Here, \(x-y>0\) means \(x>y\). For every \(x\in\mathbb{R}\), \(x-x=0\), and \(0>0\) is false; hence, \(R\) is irreflexive. If \(x>y\) and \(y>z\), then \(x>z\), so the relation is also transitive. It is not symmetric because \(x>y\) does not generally imply \(y>x\); therefore, it is not an equivalence relation. Exam tip: Relations defined by strict inequalities such as ‘>’ or ‘<’ are generally irreflexive and transitive.