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Subjects
Class 11 Mathematics Relations and Functions Relations Hard Level 25

समुच्चय \(P=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\) पर संबंध \(R=\{(A,B): A\subseteq B,\ A,B\in P\}\) किस प्रकार का संबंध है?

On the set \(P=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\), what type of relation is \(R=\{(A,B): A\subseteq B,\ A,B\in P\}\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. आंशिक क्रम संबंधPartial order relation

Explanation

Simple Explanation

समावेशन संबंध \(\subseteq\) स्वसमतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक \(A\in P\) के लिए \(A\subseteq A\) होता है। यह प्रत्यासममित है: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो \(A=B\)। यह संकर्मक भी है, क्योंकि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\) से \(A\subseteq C\) मिलता है। इसलिए \(R\) आंशिक क्रम संबंध है। यह तुल्यता संबंध नहीं है, क्योंकि यह सममित नहीं है; उदाहरणतः \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), लेकिन \(\{1,2\}\not\subseteq\{1\}\)। परीक्षा-युक्ति: आंशिक क्रम की पहचान के लिए स्वसमतुल्यता, प्रत्यासममितता और संकर्मकता—इन तीनों की जाँच करें। / The inclusion relation \(\subseteq\) is reflexive because \(A\subseteq A\) for every \(A\in P\). It is antisymmetric: if \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\), then \(A=B\). It is also transitive, since \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\) imply \(A\subseteq C\). Therefore, \(R\) is a partial order relation. It is not an equivalence relation because it is not symmetric; for example, \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), but \(\{1,2\}\not\subseteq\{1\}\). Exam tip: To identify a partial order, check reflexivity, antisymmetry, and transitivity.

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समुच्चय \(P=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\) पर संबंध \(R=\{(A,B): A\subseteq B,\ A,B\in P\}\) किस प्रकार का संबंध है? / On the set \(P=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\), what type of relation is \(R=\{(A,B): A\subseteq B,\ A,B\in P\}\)?

Correct Answer: A. आंशिक क्रम संबंध / Partial order relation. Explanation: समावेशन संबंध \(\subseteq\) स्वसमतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक \(A\in P\) के लिए \(A\subseteq A\) होता है। यह प्रत्यासममित है: यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो \(A=B\)। यह संकर्मक भी है, क्योंकि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\) से \(A\subseteq C\) मिलता है। इसलिए \(R\) आंशिक क्रम संबंध है। यह तुल्यता संबंध नहीं है, क्योंकि यह सममित नहीं है; उदाहरणतः \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), लेकिन \(\{1,2\}\not\subseteq\{1\}\)। परीक्षा-युक्ति: आंशिक क्रम की पहचान के लिए स्वसमतुल्यता, प्रत्यासममितता और संकर्मकता—इन तीनों की जाँच करें। / The inclusion relation \(\subseteq\) is reflexive because \(A\subseteq A\) for every \(A\in P\). It is antisymmetric: if \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\), then \(A=B\). It is also transitive, since \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\) imply \(A\subseteq C\). Therefore, \(R\) is a partial order relation. It is not an equivalence relation because it is not symmetric; for example, \(\{1\}\subseteq\{1,2\}\), but \(\{1,2\}\not\subseteq\{1\}\). Exam tip: To identify a partial order, check reflexivity, antisymmetry, and transitivity.