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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Complement of a Set and its properties Medium Level 20

यदि \(A^c=\{x\mid x\in U \text{ और } x\notin A\}\) है, तो \(A\cup A^c=U\) क्यों होता है?

If \(A^c=\{x\mid x\in U \text{ and } x\notin A\}\), why does \(A\cup A^c=U\) hold?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. क्योंकि \(U\) का प्रत्येक तत्व या तो \(A\) में होता है या \(A\) में नहीं होता, इसलिए वह \(A^c\) में होता हैBecause every element of \(U\) is either in \(A\) or not in \(A\), so it belongs to \(A^c\)

Explanation

Simple Explanation

विश्व समुच्चय \(U\) के किसी भी तत्व \(x\) के लिए दो ही संभावनाएँ हैं: या तो \(x\in A\), या \(x\notin A\)। दूसरी स्थिति में परिभाषा के अनुसार \(x\in A^c\) होता है। इसलिए \(U\) का प्रत्येक तत्व \(A\) या \(A^c\) में है, अतः \(A\cup A^c=U\)। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(A^c\) केवल तब रिक्त होता है जब \(A=U\)। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ हमेशा विश्व समुच्चय होता है। / For any element \(x\) of the universal set \(U\), exactly one of the following applies: \(x\in A\) or \(x\notin A\). In the second case, the definition gives \(x\in A^c\). Thus every element of \(U\) belongs to \(A\) or \(A^c\), so \(A\cup A^c=U\). Option C is false because \(A^c\) is empty only when \(A=U\). Exam tip: the union of any set and its complement is always the universal set.

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यदि \(A^c=\{x\mid x\in U \text{ और } x\notin A\}\) है, तो \(A\cup A^c=U\) क्यों होता है? / If \(A^c=\{x\mid x\in U \text{ and } x\notin A\}\), why does \(A\cup A^c=U\) hold?

Correct Answer: A. क्योंकि \(U\) का प्रत्येक तत्व या तो \(A\) में होता है या \(A\) में नहीं होता, इसलिए वह \(A^c\) में होता है / Because every element of \(U\) is either in \(A\) or not in \(A\), so it belongs to \(A^c\). Explanation: विश्व समुच्चय \(U\) के किसी भी तत्व \(x\) के लिए दो ही संभावनाएँ हैं: या तो \(x\in A\), या \(x\notin A\)। दूसरी स्थिति में परिभाषा के अनुसार \(x\in A^c\) होता है। इसलिए \(U\) का प्रत्येक तत्व \(A\) या \(A^c\) में है, अतः \(A\cup A^c=U\)। विकल्प C गलत है, क्योंकि \(A^c\) केवल तब रिक्त होता है जब \(A=U\)। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय और उसके पूरक का संघ हमेशा विश्व समुच्चय होता है। / For any element \(x\) of the universal set \(U\), exactly one of the following applies: \(x\in A\) or \(x\notin A\). In the second case, the definition gives \(x\in A^c\). Thus every element of \(U\) belongs to \(A\) or \(A^c\), so \(A\cup A^c=U\). Option C is false because \(A^c\) is empty only when \(A=U\). Exam tip: the union of any set and its complement is always the universal set.