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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Venn Diagrams Expert Level 15

यदि \(A\cap B = A\) और \(B\cap C = B\) हैं, तो \(A\cap C\) किसके बराबर होगा?

If \(A\cap B = A\) and \(B\cap C = B\), then what is \(A\cap C\) equal to?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

A. A

Explanation

Simple Explanation

अगर \(A\cap B = A\) तो प्रत्येक तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है, यानी \(A\subseteq B\)। इसी तरह \(B\cap C = B\) से \(B\subseteq C\) मिलता है। अतः \(A\subseteq C\) और इसलिए \(A\cap C = A\)। विकल्प B तभी सही हो सकता है जब \(A=B\) हो — यह मान दिया गया नहीं है। विकल्प C तब होगा जब \(A=C\) हो, और \(\varnothing\) तब होगा जब \(A=\varnothing\) — ये विशेष स्थितियाँ प्रश्न में नहीं दी गईं। परीक्षा-सुझाव: किसी समुच्चय की दूसरी समुच्चय के साथ का पूर्ण समतुल्य होना हमेशा उपसमुच्चयता बताता है (i.e. \(X\cap Y=X\Rightarrow X\subseteq Y\)) — इसे जल्दी पहचानें। / From \(A\cap B = A\) we get every element of \(A\) is in \(B\), so \(A\subseteq B\). From \(B\cap C = B\) we get \(B\subseteq C\). Therefore \(A\subseteq C\), and hence \(A\cap C = A\). Option B would be true only if \(A=B\) (not given). Option C requires \(A=C\), and \(\varnothing\) would require \(A=\varnothing\); none of these special cases are stated. Exam tip: convert identities like \(X\cap Y=X\) into subset relations immediately to chain conclusions quickly.

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Correct Answer: A. A. Explanation: अगर \(A\cap B = A\) तो प्रत्येक तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है, यानी \(A\subseteq B\)। इसी तरह \(B\cap C = B\) से \(B\subseteq C\) मिलता है। अतः \(A\subseteq C\) और इसलिए \(A\cap C = A\)। विकल्प B तभी सही हो सकता है जब \(A=B\) हो — यह मान दिया गया नहीं है। विकल्प C तब होगा जब \(A=C\) हो, और \(\varnothing\) तब होगा जब \(A=\varnothing\) — ये विशेष स्थितियाँ प्रश्न में नहीं दी गईं। परीक्षा-सुझाव: किसी समुच्चय की दूसरी समुच्चय के साथ का पूर्ण समतुल्य होना हमेशा उपसमुच्चयता बताता है (i.e. \(X\cap Y=X\Rightarrow X\subseteq Y\)) — इसे जल्दी पहचानें। / From \(A\cap B = A\) we get every element of \(A\) is in \(B\), so \(A\subseteq B\). From \(B\cap C = B\) we get \(B\subseteq C\). Therefore \(A\subseteq C\), and hence \(A\cap C = A\). Option B would be true only if \(A=B\) (not given). Option C requires \(A=C\), and \(\varnothing\) would require \(A=\varnothing\); none of these special cases are stated. Exam tip: convert identities like \(X\cap Y=X\) into subset relations immediately to chain conclusions quickly.