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Subjects
Class 12 Mathematics Inverse Trigonometric Functions Domain and range Medium Level 32

किस x के मानों के लिए \(cosec^{-1}(x-2)\) परिभाषित है?

For which real values of x is \(cosec^{-1}(x-2)\) defined?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \((-\infty,1]\cup[3,\infty)\)

Explanation

Simple Explanation

किसी भी \(cosec^{-1}(u)\) के लिए तर्क \(u\) का मान ऐसे होना चाहिए कि \(|u|\ge1\) क्योंकि cosec के मान केवल \(\le-1\) या \(\ge1\) हो सकते हैं। यहाँ \(u=x-2\) है, अतः \(|x-2|\ge1\) चाहिए। इसका अर्थ है \(x-2\le-1\) या \(x-2\ge1\), अर्थात् \(x\le1\) या \(x\ge3\)। इसलिए डोमेन \((- \infty,1]\cup[3,\infty)\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि वह endpoints \(x=1\) और \(x=3\) को निकाल देता है जबकि वे वैध हैं (\(|x-2|=1\) पर भी cosec^{-1} परिभाषित है)। परीक्षायी सुझाव: inverse cosec के लिए हमेशा तर्क पर \(|\cdot|\ge1\) की शर्त लागू करें और बराबरी के मामलों को शामिल करना न भूलें। / For \(cosec^{-1}(u)\) the argument must satisfy \(|u|\ge1\) because cosecant values lie in \((- \infty,-1]\cup[1,\infty)\). Here \(u=x-2\), so require \(|x-2|\ge1\), giving \(x\le1\) or \(x\ge3\). Thus the domain is \((- \infty,1]\cup[3,\infty)\). Option C is a close distractor but wrong because it excludes the endpoints \(x=1,3\), which are allowed (\(|x-2|=1\) is permitted). Exam tip: convert inverse trigonometric domains into inequalities on the argument (e.g. \(|\cdot|\ge1\) for \(cosec^{-1}\)) and check inclusivity of boundary points.

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  8. यदि \(A=\begin{bmatrix}x&1\\2&y\end{bmatrix}\) और \(B=\begin{bmatrix}3&1\\2&4\end{bmatrix}\) तथा \(A=B\), तो \((x,y)\) क्या है?
  9. यदि \(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\) और \(B=\begin{bmatrix}1&2\\3&5\end{bmatrix}\), तो कौन-सा कथन सही है?
  10. यदि \(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\), तो तीसरा स्तंभ कौन-सा है?

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किस x के मानों के लिए \(cosec^{-1}(x-2)\) परिभाषित है? / For which real values of x is \(cosec^{-1}(x-2)\) defined?

Correct Answer: A. \((-\infty,1]\cup[3,\infty)\). Explanation: किसी भी \(cosec^{-1}(u)\) के लिए तर्क \(u\) का मान ऐसे होना चाहिए कि \(|u|\ge1\) क्योंकि cosec के मान केवल \(\le-1\) या \(\ge1\) हो सकते हैं। यहाँ \(u=x-2\) है, अतः \(|x-2|\ge1\) चाहिए। इसका अर्थ है \(x-2\le-1\) या \(x-2\ge1\), अर्थात् \(x\le1\) या \(x\ge3\)। इसलिए डोमेन \((- \infty,1]\cup[3,\infty)\) है। विकल्प C गलत है क्योंकि वह endpoints \(x=1\) और \(x=3\) को निकाल देता है जबकि वे वैध हैं (\(|x-2|=1\) पर भी cosec^{-1} परिभाषित है)। परीक्षायी सुझाव: inverse cosec के लिए हमेशा तर्क पर \(|\cdot|\ge1\) की शर्त लागू करें और बराबरी के मामलों को शामिल करना न भूलें। / For \(cosec^{-1}(u)\) the argument must satisfy \(|u|\ge1\) because cosecant values lie in \((- \infty,-1]\cup[1,\infty)\). Here \(u=x-2\), so require \(|x-2|\ge1\), giving \(x\le1\) or \(x\ge3\). Thus the domain is \((- \infty,1]\cup[3,\infty)\). Option C is a close distractor but wrong because it excludes the endpoints \(x=1,3\), which are allowed (\(|x-2|=1\) is permitted). Exam tip: convert inverse trigonometric domains into inequalities on the argument (e.g. \(|\cdot|\ge1\) for \(cosec^{-1}\)) and check inclusivity of boundary points.