Which of the following functions \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is onto?निम्नलिखित में से कौन-सा फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) आच्छादी (onto) है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(f(x)=x^3-x\)\(f(x)=x^3-x\)
The function \(f(x)=x^3-x\) is a continuous cubic polynomial. As \(x\to\infty\), \(f(x)\to\infty\), and as \(x\to-\infty\), \(f(x)\to-\infty\). By continuity, it takes every real value, so its range is \(\mathbb{R}\) and it is onto. In contrast, \(e^x\) takes only positive values and is therefore not onto \(\mathbb{R}\). Exam tip: to test onto-ness, check whether every element of the stated codomain has at least one preimage.फलन \(f(x)=x^3-x\) एक सतत घन बहुपद है। जब \(x\to\infty\), तब \(f(x)\to\infty\) और जब \(x\to-\infty\), तब \(f(x)\to-\infty\)। इसलिए सततता के कारण यह प्रत्येक वास्तविक मान प्राप्त करता है; अतः इसका परास \(\mathbb{R}\) है और यह आच्छादी है। \(e^x\) केवल धनात्मक मान देता है, इसलिए वह \(\mathbb{R}\) पर onto नहीं है। परीक्षा टिप: onto जाँचते समय दिए गए सह-डोमेन के प्रत्येक तत्व का कोई पूर्वप्रतिबिंब होना चाहिए।
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