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If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{x^3}{1+x^2}), is (f) onto or not?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{x^3}{1+x^2}), तो (f) सर्वाच्छादक है या नहीं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: It is ontoसर्वाच्छादक है
Step 1: For every (x), the denominator (1+x^2) is positive, so the function is continuous on all of (\mathbb{R}). Step 2: As (x\to\infty), the value tends to (\infty), and as (x\to-\infty), it tends to (-\infty). Step 3: Continuity together with unbounded behavior in both directions proves onto property.चरण 1: हर (x) के लिए हर (1+x^2) धनात्मक है, इसलिए फलन पूरे (\mathbb{R}) पर सतत है। चरण 2: (x\to\infty) पर मान (\infty) और (x\to-\infty) पर (-\infty) की ओर जाता है। चरण 3: सततता और दोनों ओर असीमित व्यवहार मिलकर सर्वाच्छादकता सिद्ध करते हैं।
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