फलन \(f(x)=\frac{|x|}{x}\) का ग्राफ \(x\ne0\) के लिए निम्नलिखित में से किस मानक फलन के ग्राफ के समान है?

Correct Answer: A. \(f(x)=\operatorname{sgn}(x)\). Explanation: जब \(x>0\), तब \(|x|=x\), इसलिए \(\frac{|x|}{x}=1\)। जब \(x<0\), तब \(|x|=-x\), इसलिए \(\frac{|x|}{x}=-1\)। अतः इसका ग्राफ \(y=\operatorname{sgn}(x)\) के समान है, लेकिन \(x=0\) पर फलन परिभाषित नहीं है। विकल्प B में दोनों मानों के चिह्न उलट जाते हैं, जबकि विकल्प C और D में फलन के मान \(x\) के साथ लगातार बदलते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{|x|}{x}\) को \(x>0\) और \(x<0\) के लिए अलग-अलग लिखें। / For \(x>0\), \(|x|=x\), so \(\frac{|x|}{x}=1\). For \(x<0\), \(|x|=-x\), so \(\frac{|x|}{x}=-1\). Therefore, its graph is the same as \(y=\operatorname{sgn}(x)\) on the domain \(x\ne0\); the function is not defined at \(x=0\). Option B reverses both values, while options C and D vary continuously with \(x\). Exam tip: split expressions containing \(|x|\) into the cases \(x>0\) and \(x<0\).