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SubjectsMathematics
In this Class 11 Mathematics topic, students learn how a relation connects elements of one set with elements of another, building the foundation for the chapter Relations and Functions. The topic introduces ordered pairs, Cartesian products, and the representation of relations as subsets of a Cartesian product. Students also examine the domain, codomain, and range of a relation and learn to interpret relations through rosters, diagrams, and set notation, preparing them to distinguish relations from functions.
Expert · Level 3 · 25 questions
TOPIC PRACTICE
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(R={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}), so the count is (4). In exams, remember that order matters in ordered pairs.(R={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}), इसलिए संख्या (4) है। परीक्षा में क्रमित युग्मों में क्रम का ध्यान रखें।
This is the equality relation. Since a=a, it is reflexive. If aRb, then a=b, so b=a and bRa; hence it is symmetric. Also, aRb and bRc imply a=c, so it is transitive. Therefore, R is an equivalence relation. Exam tip: check reflexive, symmetric and transitive properties together.यह समानता संबंध है। हर a के लिए aRa, इसलिए यह परावर्ती है। aRb होने पर a=b, अतः b=a और bRa; यह सममित है। aRb तथा bRc से a=c मिलता है, इसलिए संक्रामक भी है। अतः यह तुल्यता संबंध है। परीक्षा टिप: तुल्यता के लिए परावर्ती, सममित और संक्रामक—तीनों जाँचें।
All ((a,a)) pairs are present, so (R) is reflexive. Since ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, it is not symmetric.सभी ((a,a)) मौजूद हैं, इसलिए (R) प्रतिवर्ती है। ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है।
For every (a\in A), (a\le a), so it is reflexive. If (a\le b) and (b\le c), then (a\le c), so it is transitive.हर (a\in A) के लिए (a\le a), इसलिए प्रतिवर्ती है। यदि (a\le b) और (b\le c), तो (a\le c), इसलिए संक्रमी है।
Every reverse pair is present, so (R) is symmetric. But ((1,1),(2,2),(3,3)) are missing, so it is not reflexive.हर उल्टा युग्म मौजूद है, इसलिए (R) सममित है। लेकिन ((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
There is no ordered pair in (R), so it is an empty relation. On non-empty (A), it is not reflexive.(R) में कोई क्रमित युग्म नहीं है, इसलिए यह रिक्त संबंध है। गैर-रिक्त (A) पर यह प्रतिवर्ती नहीं होगा।
Elements with the same parity are related, so reflexive, symmetric, and transitive properties all hold. Hence (R) is an equivalence relation.समान parity वाले अवयव जुड़े हैं, इसलिए प्रतिवर्ती, सममित और संक्रमी तीनों गुण मिलते हैं। अतः (R) समतुल्य संबंध है।
The domain of a relation is the set of all first components of its ordered pairs. Here the first components are 1, 2, 2 and 3; removing the repeated 2 gives \(\{1,2,3\}\). Option A is the range, while options C and D do not correctly include all first components. Exam tip: use the first coordinate for the domain and the second coordinate for the range.किसी संबंध का domain उसके सभी क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों का समुच्चय होता है। यहाँ प्रथम घटक 1, 2, 2 और 3 हैं; दोहराए गए 2 को एक ही बार लिखने पर domain \(\{1,2,3\}\) मिलता है। विकल्प A range है, जबकि विकल्प C और D domain के सभी प्रथम घटकों को सही रूप से नहीं दर्शाते। परीक्षा-युक्ति: domain के लिए प्रत्येक युग्म का पहला घटक और range के लिए दूसरा घटक लें।
The range of a relation is the set of the second components of its ordered pairs. Here the second components are 4, 4, 5, and 6; since repeated elements are written only once in a set, the range is \(\{4,5,6\}\). Option A is the set of first components, or the domain. Exam tip: in an ordered pair \((a,b)\), select the second component \(b\) to find the range.किसी संबंध का परास उसके क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय होता है। यहाँ दूसरे घटक 4, 4, 5 और 6 हैं; समुच्चय में 4 को दोहराया नहीं जाता, इसलिए परास \(\{4,5,6\}\) है। विकल्प A पहले घटकों का समुच्चय है। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म \((a,b)\) में range के लिए हमेशा दूसरे घटक \(b\) चुनें।
An ordered pair \((a,b)\) belongs to \(R\) only when \(a\) divides \(b\), meaning that \(b/a\) is an integer. We have \(1\mid4\), \(2\mid4\), and \(3\mid3\), but \(4\nmid2\); hence, \((4,2)\notin R\). Exam tip: in a divisibility relation, the first component is the divisor and the second component is the dividend.संबंध \(R\) में \((a,b)\) तभी होगा जब \(a\), \(b\) को विभाजित करे, अर्थात् \(b/a\) पूर्णांक हो। \(1\mid4\), \(2\mid4\) और \(3\mid3\) सत्य हैं, लेकिन \(4\nmid2\), इसलिए \((4,2)\notin R\) है। परीक्षा-युक्ति: विभाज्यता संबंध में क्रमित युग्म का पहला घटक भाजक और दूसरा घटक भाज्य होता है।
Every (a\mid a), so it is reflexive, and divisibility is transitive. But (1\mid2) while (2\nmid1), so it is not symmetric.हर (a\mid a), इसलिए प्रतिवर्ती है, और भाग्यता संक्रमी होती है। लेकिन (1\mid2) पर (2\nmid1), इसलिए सममित नहीं है।
Direct answer: Option C, 2^9. A relation on A is any subset of the Cartesian product A×A. Since A has 3 elements, the ordered pairs are 3×3=9: each first element can be paired with each of the three second elements. For every one of these 9 pairs, we have two independent choices: include it in the relation or leave it out. Therefore the number of subsets, and hence relations, is 2×2×... nine times = 2^9=512. Option A, 2^3, counts choices for only three objects and ignores the ordered-pair construction. Option B, 2^6, uses the wrong number of possible pairs. Option C is correct. Option D, 3^2, reverses the exponent idea and is not the number of subsets. No extra condition such as reflexivity or symmetry is imposed, so all subsets count. Memory cue: an n-element set has n^2 ordered pairs and therefore 2^(n^2) relations.सीधा उत्तर: विकल्प C, 2^9। A पर संबंध, कार्तीय गुणनफल A×A का कोई भी उपसमुच्चय होता है। A में 3 तत्व हैं, इसलिए क्रमित युग्मों की संख्या 3×3=9 है; हर पहले तत्व के साथ तीनों दूसरे तत्व आ सकते हैं। इन 9 युग्मों में से प्रत्येक के लिए दो स्वतंत्र विकल्प हैं: उसे संबंध में लें या न लें। इसलिए कुल संबंधों की संख्या 2^9=512 होगी। विकल्प A, 2^3, केवल तीन तत्वों के आधार पर गिनता है, युग्मों के आधार पर नहीं। विकल्प B, 2^6, संभावित युग्मों की गलत संख्या लेता है। विकल्प C सही है। विकल्प D, 3^2, उपसमुच्चयों की गिनती का सही रूप नहीं है। यहाँ स्वतुल्यता या सममिति जैसी कोई अतिरिक्त शर्त नहीं है, इसलिए हर उपसमुच्चय गिना जाएगा। याद रखें: n तत्वों के लिए क्रमित युग्म n^2 और कुल संबंध 2^(n^2) होते हैं।
In a reflexive relation, (4) diagonal pairs are fixed. The remaining (16-4=12) pairs are free, so the number is (2^{12}).प्रतिवर्ती संबंध में (4) diagonal युग्म निश्चित होते हैं। बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या (2^{12}) है।
If (|a-b|=1), then (|b-a|=1), so it is symmetric. But ((1,2)) and ((2,3)) hold while ((1,3)) does not, so it is not transitive.यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=1), इसलिए सममित है। लेकिन ((1,2)) और ((2,3)) होने पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रमी नहीं है।
In the inverse, order is reversed, so the original condition (a-b=3) becomes (y-x=3). Do not forget the direction when variables are swapped.प्रतिलोम में क्रम बदलता है, इसलिए मूल शर्त (a-b=3) नई शर्त (y-x=3) बनती है। चर बदलते समय संबंध की दिशा न भूलें।
If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd, so it is symmetric. But (a+a=2a) is even, so it is not reflexive.यदि (a+b) विषम है, तो (b+a) भी विषम है, इसलिए सममित है। लेकिन (a+a=2a) सम है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
For (5) elements, the number of pairs with (a<b) is (\binom{5}{2}=10). In such questions, count each unordered pair in the correct ordered direction.(5) अवयवों में (a<b) वाले युग्मों की संख्या (\binom{5}{2}=10) है। ऐसे प्रश्नों में unordered जोड़ी को सही ordered दिशा में गिनें।
(a<a) is never true, so it is irreflexive. If (a<b) and (b<c), then (a<c), so it is transitive.(a<a) कभी सत्य नहीं, इसलिए यह अप्रतिवर्ती है। यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), इसलिए यह संक्रमी है।
(x^2=x^2), (x^2=y^2\Rightarrow y^2=x^2), and equality is transitive. Hence it is an equivalence relation.(x^2=x^2), (x^2=y^2\Rightarrow y^2=x^2), और बराबरी की शर्त संक्रमी है। इसलिए यह समतुल्य संबंध है।
The identity relation on A is I_A = {(a, a) : a ∈ A}; hence, both components of every ordered pair must be equal. Therefore, (2, 2) belongs to I_A. The pairs (1, 2), (3, 4), and (4, 1) are not identity pairs because their components differ. Exam tip: In an identity relation, every element is related only to itself.समुच्चय A पर पहचान संबंध I_A = {(a, a) : a ∈ A} होता है। इसमें दोनों घटक समान होते हैं, इसलिए (2, 2) सम्मिलित है। (1, 2), (3, 4) और (4, 1) में दोनों घटक अलग हैं, इसलिए वे पहचान संबंध के युग्म नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: पहचान संबंध में प्रत्येक अवयव केवल स्वयं से संबंधित होता है।
For reflexivity, all diagonal pairs are compulsory. The smallest relation keeps only those required pairs.प्रतिवर्ती होने के लिए सभी diagonal युग्म अनिवार्य हैं। न्यूनतम संबंध में केवल वही युग्म रखे जाते हैं।
All three domain elements must appear in some pair, so at least (3) pairs are needed. The (2) range elements can be covered within these (3) pairs.तीनों domain अवयवों को किसी न किसी युग्म में आना होगा, इसलिए कम से कम (3) युग्म चाहिए। range के (2) अवयव इन्हीं (3) युग्मों में कवर किए जा सकते हैं।
The range of a relation is the set of all second components of its ordered pairs. The second components in R are x, x, and y; removing the repetition gives {x, y}. The set {1, 2, 3} is the domain, while {x} and {y} omit one of the attained values. Exam tip: To find the range, collect the second element from every ordered pair and write repeated elements only once.किसी संबंध का परास उसके क्रमित युग्मों के दूसरे घटकों का समुच्चय होता है। R में दूसरे घटक x, x और y हैं, इसलिए अलग-अलग दूसरे घटकों का समुच्चय {x, y} होगा। {1, 2, 3} डोमेन है, जबकि केवल {x} या {y} परास का अपूर्ण भाग है। परीक्षा-युक्ति: परास ज्ञात करने के लिए प्रत्येक क्रमित युग्म का दूसरा घटक लिखें और दोहराए गए अवयवों को केवल एक बार रखें।
For each value of \(a\), count the values of \(b\) satisfying \(a+b\le 5\). When \(a=1\), there are 4 choices for \(b\); for \(a=2,3,4\), there are 3, 2, and 1 choices, respectively. Thus, \(|R|=4+3+2+1=10\), so option C is correct. Exam tip: For a relation defined by an inequality, count the admissible second components for each possible first component and then add them.प्रत्येक \(a\) के लिए ऐसे \(b\) गिनते हैं जिनके लिए \(a+b\le 5\) हो। \(a=1\) पर \(b=1,2,3,4\) यानी 4 युग्म; \(a=2\) पर 3; \(a=3\) पर 2; और \(a=4\) पर केवल 1 युग्म मिलता है। इसलिए कुल युग्म \(4+3+2+1=10\) हैं, अतः विकल्प C सही है। परीक्षा-युक्ति: संबंध की संख्या निकालते समय प्रत्येक प्रथम अवयव के लिए अनुमत द्वितीय अवयवों की संख्या अलग-अलग गिनें।
(\operatorname{lcm}(2,3)=6), so ((2,3)\in R). In the other options, the (\operatorname{lcm}) is not (6).(\operatorname{lcm}(2,3)=6), इसलिए ((2,3)\in R) है। बाकी विकल्पों में (\operatorname{lcm}) (6) नहीं मिलता।
