Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(8) अलग वस्तुओं की व्यवस्था (8!=40320) होती है। सभी अलग वस्तुओं के लिए factorial लगाएं। / The arrangement of (8) distinct objects is (8!=40320). Use factorial for all distinct objects.
दो पद अलग हैं इसलिए \({}^{12}P_{2}=12\times11=132\)। अलग पदों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The two posts are distinct, so \({}^{12}P_{2}=12\times11=132\). Order matters for different posts.
(TRAIN) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। सभी अक्षर अलग हों तो denominator नहीं लगता। / The word (TRAIN) has (5) distinct letters, so (5!=120). No denominator is needed when all letters are distinct.
तीन स्थानों के लिए \(4\times3\times2=24\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में हर अगला विकल्प घटता है। / For three places, there are \(4\times3\times2=24\) ways. Without repetition, each next choice decreases.
\({}^{11}P_{2}=11\times10=110\) होता है। (r=2) होने पर दो घटते गुणनखंड लें। / \({}^{11}P_{2}=11\times10=110\). When (r=2), take two decreasing factors.
बजाने का क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\)। क्रम बदलने से सूची बदल जाती है। / Playing order matters, so \({}^{7}P_{3}=7\times6\times5=210\). Changing the order changes the list.
(P) दो बार समान है इसलिए व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!}=60\) होंगी। समान अक्षर के factorial से भाग दें। / Since (P) occurs twice, arrangements are \(\frac{5!}{2!}=60\). Divide by the factorial of the repeated letter.
मेजें अलग हैं इसलिए \({}^{6}P_{2}=6\times5=30\)। अलग स्थानों पर बैठाने में क्रम गिना जाता है। / The desks are distinct, so \({}^{6}P_{2}=6\times5=30\). Order is counted when seating at distinct places.
जब (r=n) हो तो \({}^{n}P_{n}=n!\), इसलिए \({}^{7}P_{7}=5040\)। पूरा चयन होने पर factorial लें। / When (r=n), \({}^{n}P_{n}=n!\), so \({}^{7}P_{7}=5040\). Use factorial when all are selected.
इकाई पर (0) हो तो (4) तरीके और इकाई पर गैर-शून्य सम अंक हो तो \(4\times3=12\) तरीके हैं, कुल (16)। शून्य वाले प्रश्न में cases बनाएं। / If the unit digit is (0), there are (4) ways, and if it is a non-zero even digit, there are \(4\times3=12\) ways, total (16). Make cases for zero questions.
(5) अलग पतंग (5) बच्चों में (5!=120) तरीकों से बाँटी जा सकती हैं। अलग वस्तुओं के एक-एक वितरण में factorial आता है। / (5) different kites can be distributed among (5) children in (5!=120) ways. Factorial appears in one-to-one distribution of distinct objects.
हल करने का क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\)। ordered selection में permutation लगाएं। / The solving order matters, so \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\). Use permutation in ordered selection.
पहला स्थान निश्चित है और शेष (3) अक्षर (3!=6) तरीकों से लगेंगे। fixed condition को पहले लागू करें। / The first position is fixed and the remaining (3) letters can be arranged in (3!=6) ways. Apply the fixed condition first.
दो पद अलग हैं इसलिए \({}^{13}P_{2}=13\times12=156\)। पद अलग हों तो combination नहीं लगाएं। / The two posts are distinct, so \({}^{13}P_{2}=13\times12=156\). Do not use combination when posts are different.
हर स्थान पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3^3=27\)। repetition allowed हो तो विकल्प कम नहीं होते। / Each place has (3) choices, so \(3^3=27\). When repetition is allowed, choices do not decrease.
अंतिम स्थान निश्चित है और शेष (5) फोल्डर (5!=120) तरीकों से लगेंगे। fixed item के बाद बचे items व्यवस्थित करें। / The last position is fixed and the remaining (5) folders can be arranged in (5!=120) ways. Arrange the remaining items after fixing the item.
\({}^{n}P_{1}=n\) होता है इसलिए \({}^{14}P_{1}=14\)। एक स्थान के लिए सीधे उपलब्ध वस्तुएँ गिनें। / Since \({}^{n}P_{1}=n\), \({}^{14}P_{1}=14\). For one position, count available objects directly.
(SMART) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। distinct letters की पूरी arrangement factorial होती है। / The word (SMART) has (5) distinct letters, so (5!=120). The full arrangement of distinct letters is factorial.
\({}^{10}P_{4}=10\times9\times8\times7=5040\) है। (4) स्थानों के लिए (4) घटते गुणनखंड लें। / \({}^{10}P_{4}=10\times9\times8\times7=5040\). For (4) places, take (4) decreasing factors.
यह \({}^{5}P_{2}=5\times4=20\) है। ordered letters में (AE) और (EA) अलग माने जाते हैं। / This is \({}^{5}P_{2}=5\times4=20\). In ordered letters, (AE) and (EA) are considered different.
(D) दो बार है इसलिए \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements हैं। repeated letters को अलग-अलग न गिनें। / (D) occurs twice, so there are \(\frac{3!}{2!}=3\) arrangements. Do not count repeated letters as distinct.
उत्तर \({}^{8}P_{5}=8\times7\times6\times5\times4=6720\) है। बेंच पर बाएँ-दाएँ क्रम महत्त्वपूर्ण होता है। / The answer is \({}^{8}P_{5}=8\times7\times6\times5\times4=6720\). Left-right order on a bench matters.
इकाई स्थान पर केवल (9) आएगा और बाकी दो स्थान \(4\times3=12\) तरीकों से भरेंगे। odd number में इकाई स्थान पहले देखें। / Only (9) can be in the units place, and the other two places can be filled in \(4\times3=12\) ways. For odd numbers, check the units place first.
\({}^{n}P_{0}=1\) इसलिए \({}^{15}P_{0}=1\)। शून्य वस्तु चुनने का एक तरीका माना जाता है। / \({}^{n}P_{0}=1\), so \({}^{15}P_{0}=1\). Choosing zero objects is counted in one way.
(5) अलग टिकट (5) अलग लिफाफों पर (5!=120) तरीकों से लगेंगे। one-to-one matching में factorial उपयोगी है। / (5) different stamps can be pasted on (5) different envelopes in (5!=120) ways. Factorial is useful in one-to-one matching.
(A) तीन बार और (N) दो बार है इसलिए \(\frac{6!}{3!2!}=60\)। repeated groups के factorial से भाग दें। / (A) occurs three times and (N) twice, so \(\frac{6!}{3!2!}=60\). Divide by factorials of repeated groups.
शुरू और समाप्ति क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{6}P_{2}=30\)। route में starting और ending बदलने से मामला बदलता है। / Starting and ending are ordered, so \({}^{6}P_{2}=30\). In a route, changing start and end changes the case.
सैकड़ा स्थान पर (3) विकल्प हैं, फिर (3) और (2) विकल्प मिलते हैं, कुल (18)। पहले स्थान पर (0) की अनुमति नहीं है। / There are (3) choices for the hundreds place, then (3) and (2) choices, total (18). Zero is not allowed in the first place.
ऊपर से नीचे (4) अलग कार्डों की व्यवस्था (4!=24) है। linear order में factorial प्रयोग करें। / The top-to-bottom arrangement of (4) distinct cards is (4!=24). Use factorial in linear order.
पहला और दूसरा वक्ता अलग क्रम वाले स्थान हैं इसलिए \({}^{14}P_{2}=182\)। speaking order में permutation लगता है। / First and second speakers are ordered positions, so \({}^{14}P_{2}=182\). Speaking order uses permutation.
अंतिम स्थान निश्चित है और शेष (3) अक्षर (3!=6) तरीकों से लगेंगे। fixed position को पहले अलग करें। / The last position is fixed and the remaining (3) letters can be arranged in (3!=6) ways. Separate the fixed position first.
\({}^{6}P_{5}=6\times5\times4\times3\times2=720\) है। पाँच स्थान हों तो पाँच घटते गुणनखंड लें। / \({}^{6}P_{5}=6\times5\times4\times3\times2=720\). For five places, take five decreasing factors.
ऊपरी और निचला रैक अलग हैं इसलिए \({}^{8}P_{2}=56\)। अलग स्थानों में order गिना जाता है। / The upper and lower racks are distinct, so \({}^{8}P_{2}=56\). Order is counted for distinct positions.
\({}^{6}P_{2}=6\times5=30\) कोड बनेंगे। कोड में अक्षर का स्थान बदलने से कोड बदलता है। / \({}^{6}P_{2}=6\times5=30\) codes are possible. In a code, changing the position of letters changes the code.
(C) दो बार और (O) दो बार हैं इसलिए \(\frac{4!}{2!2!}=6\)। दो repeated letters हों तो दोनों से भाग दें। / (C) occurs twice and (O) occurs twice, so \(\frac{4!}{2!2!}=6\). Divide by both repeated letters.
तीन rank क्रम वाले हैं इसलिए \({}^{15}P_{3}=15\times14\times13=2730\)। rank वाले प्रश्न permutation के होते हैं। / The three ranks are ordered, so \({}^{15}P_{3}=15\times14\times13=2730\). Rank questions use permutation.
दोनों स्थानों पर (3) विकल्प हैं इसलिए \(3^2=9\)। repetition allowed हो तो विकल्प वही रहते हैं। / There are (3) choices at both places, so \(3^2=9\). With repetition allowed, choices remain the same.
सीधी रेखा में (6) अलग मोतियों की व्यवस्था (6!=720) है। इसे circular arrangement न मानें। / In a straight line, the arrangement of (6) distinct beads is (6!=720). Do not treat it as a circular arrangement.
\({}^{5}P_{0}=1\) और \({}^{5}P_{2}=20\), इसलिए योग (21) है। पहले अलग-अलग values निकालें। / \({}^{5}P_{0}=1\) and \({}^{5}P_{2}=20\), so the sum is (21). Find the values separately first.
पहले स्लॉट के लिए (9) और दूसरे के लिए (8) विकल्प हैं इसलिए (72)। स्लॉट अलग हों तो permutation गिनें। / There are (9) choices for the first slot and (8) for the second, so (72). Count permutation when slots are distinct.
(MOUSE) में (5) अलग अक्षर हैं इसलिए (5!=120)। अलग अक्षरों में factorial ही कुल व्यवस्था देता है। / The word (MOUSE) has (5) distinct letters, so (5!=120). For distinct letters, factorial gives total arrangements.
(5) अलग घंटियाँ (5) स्थानों पर (5!=120) तरीकों से लगेंगी। निर्धारित स्थानों की arrangement factorial से होती है। / (5) different bells can be placed at (5) positions in (5!=120) ways. Arrangements at fixed positions use factorial.
चार स्थानों के लिए \(6\times5\times4\times3=360\) तरीके हैं। बिना पुनरावृत्ति में विकल्प घटते हैं। / For four places, there are \(6\times5\times4\times3=360\) ways. Without repetition, choices decrease.
प्रदर्शन क्रम महत्त्वपूर्ण है इसलिए \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\)। order बदलने से कार्यक्रम बदल जाता है। / Performance order matters, so \({}^{9}P_{3}=9\times8\times7=504\). Changing order changes the programme.
व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!2!}=30\) होंगी। समान अक्षरों को अलग-अलग न गिनें। / The arrangements are \(\frac{5!}{2!2!}=30\). Do not count identical letters as different.
\({}^{12}P_{0}=1\) और \({}^{12}P_{1}=12\), इसलिए योग (13) है। standard values याद रखें। / \({}^{12}P_{0}=1\) and \({}^{12}P_{1}=12\), so the sum is (13). Remember standard values.
बाएँ से दाएँ (7) अलग पोस्टकार्डों की व्यवस्था (7!=5040) है। linear arrangement में factorial लें। / The left-to-right arrangement of (7) distinct postcards is (7!=5040). Use factorial in linear arrangement.
इकाई स्थान पर (2,4,6) में से (3) विकल्प और दहाई पर (4) विकल्प हैं, कुल (12)। even number में इकाई स्थान पहले देखें। / The units place has (3) choices from (2,4,6), and the tens place has (4) choices, total (12). For even numbers, check the units place first.
\({}^{11}P_{3}=11\times10\times9=990\) है। क्रम वाले चयन में \({}^{n}P_{r}\) लगाएं। / \({}^{11}P_{3}=11\times10\times9=990\). Use \({}^{n}P_{r}\) in ordered selection.
व्यवस्थाएँ \(\frac{5!}{2!2!}=30\) होंगी। repeated letters के factorial से भाग देना जरूरी है। / The arrangements are \(\frac{5!}{2!2!}=30\). It is necessary to divide by factorials of repeated letters.
