यदि \(U=\{1,2,3,4,5,6\}\) और \(A^{c}=\{5,6\}\) है, तो \(A\) क्या होगा?

Correct Answer: A. \(\{1,2,3,4\}\). Explanation: समूह के पूर्णता का सिद्धांत कहता है कि \(A\) और \(A^{c}\) मिलकर सार्वभौमिक समूह \(U\) बनाते हैं। अतः \(A\) वह समूह है जिसमें \(U\) के वे सारे तत्व हैं जो \(A^{c}\) में नहीं हैं। गणितीय रूप से \(A=U\setminus A^{c}\)। यहाँ \(U\setminus A^{c}=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{5,6\}=\{1,2,3,4\}\। इसलिए सही उत्तर \(\{1,2,3,4\}\) है। निकटतम भ्रामक विकल्पों का विश्लेषण: विकल्प B (\(\{5,6\}\)) वास्तव में \(A^{c}\) है न कि \(A\); विकल्प C (\(\{1,5,6\}\)) में \(5,6\) शामिल हैं, जो गलत हैं; विकल्प D तभी सही होता यदि \(A^{c}=U\)। परीक्षा टिप: सीधे सूत्र याद रखें — \(A=U\setminus A^{c}\) और \(A\cup A^{c}=U,\;A\cap A^{c}=\varnothing\)। / By definition of complement, \(A\) and \(A^{c}\) partition the universal set \(U\). So \(A\) consists of the elements of \(U\) that are not in \(A^{c}\); i.e. \(A=U\setminus A^{c}\). Here \(U\setminus A^{c}=\{1,2,3,4,5,6\}\setminus\{5,6\}=\{1,2,3,4\}\. Thus option A is correct. Why other options are wrong: B is just the complement \(A^{c}\), C incorrectly keeps 5 and 6 which belong to \(A^{c}\), and D (\(\varnothing\)) would be true only if \(A^{c}=U\). Exam tip: use the identities \(A=U\setminus A^{c}\) or \(A\cup A^{c}=U\) to answer quickly.