यदि \(n(A)=5\), तो \(P(A)\) के कितने उपसमुच्चय ऐसे हैं जिनमें सदस्यों की संख्या विषम है?

Correct Answer: C. 16. Explanation: किसी सेट के लिए विषम आकार वाले उपसमुच्चयों की संख्या का सामान्य सूत्र \(\sum_{k\ \,\text{odd}}\binom{n}{k}=2^{n-1}\) है। यह बाइनोमियल प्रमेय से निकाला जा सकता है या प्रत्येक उपसमुच्चय को उसके पूरक के साथ जोड़कर देखा जा सकता है — इससे विषम और सम आकार के उपसमुच्चयों की संख्या बराबर होती है जब \(n\ge1\)। यहाँ \(n=5\) पर संख्या \(2^{5-1}=2^{4}=16\). जांच के लिये: \(\binom{5}{1}+\binom{5}{3}+\binom{5}{5}=5+10+1=16\). निकटतम विकर्षक 15 गलत है क्योंकि वहाँ तत्वों के संयोजन का सही योग नहीं लिया गया; 32 तो कुल उपसमुच्चयों की संख्या (\(2^5\)) है, और 10 किसी विशेष एक या दो आकारों का मान है, पर समुच्चय में विषम आकारों का कुल योग नहीं। परीक्षा-सुझाव: इस पहचान \(2^{n-1}\) को याद रखें — यह प्रश्नों में तेजी से काम आता है। / For a set of size \(n\), the number of odd-cardinality subsets equals \(\sum_{k\ \text{odd}}\binom{n}{k}=2^{n-1}\). This follows from the binomial theorem or by pairing each subset with its complement, which shows odd and even counts are equal when \(n\ge1\). For \(n=5\) we get \(2^{5-1}=2^{4}=16\). Verifying: \(\binom{5}{1}+\binom{5}{3}+\binom{5}{5}=5+10+1=16\). Closest distractor 15 is incorrect due to a mis-summation of combination terms; 32 is the total number of all subsets (\(2^5\)), and 10 is just the count for a specific k-value, not the sum over odd k. Exam tip: memorize the identity \(\sum_{k\ \text{odd}}\binom{n}{k}=2^{n-1}\) or use complement pairing to answer quickly.