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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Complement of a Set and its properties Expert Level 21

यदि सार्वत्रिक समुच्चय \(U=\mathbb{R}\), \(A=(-\infty,2]\) और \(B=[-1,\infty)\) हैं, तो \(A'\cap B'\) क्या होगा?

If the universal set is \(U=\mathbb{R}\), \(A=(-\infty,2]\), and \(B=[-1,\infty)\), what is \(A'\cap B'\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(\varnothing\)

Explanation

Simple Explanation

\(U=\mathbb{R}\) के सापेक्ष \(A=(-\infty,2]\) का पूरक \(A'=(2,\infty)\) होगा, क्योंकि 2 समुच्चय \(A\) में शामिल है। इसी प्रकार \(B=[-1,\infty)\) का पूरक \(B'=(-\infty,-1)\) है, क्योंकि −1 समुच्चय \(B\) में शामिल है। कोई वास्तविक संख्या एक साथ 2 से बड़ी और −1 से छोटी नहीं हो सकती, इसलिए \(A'\cap B'=\varnothing\) है। विकल्प \((2,\infty)\) केवल \(A'\) है, उनका प्रतिच्छेद नहीं। परीक्षा-टिप: पूरक निकालते समय अंतराल के सिरों पर खुले और बंद कोष्ठकों को ध्यान से बदलें। / With respect to \(U=\mathbb{R}\), the complement of \(A=(-\infty,2]\) is \(A'=(2,\infty)\), since 2 belongs to \(A\). Similarly, the complement of \(B=[-1,\infty)\) is \(B'=(-\infty,-1)\), since −1 belongs to \(B\). No real number can be both greater than 2 and less than −1, so \(A'\cap B'=\varnothing\). The option \((2,\infty)\) represents only \(A'\), not the intersection. Exam tip: While taking complements of intervals, check endpoint inclusion carefully.

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Correct Answer: A. \(\varnothing\). Explanation: \(U=\mathbb{R}\) के सापेक्ष \(A=(-\infty,2]\) का पूरक \(A'=(2,\infty)\) होगा, क्योंकि 2 समुच्चय \(A\) में शामिल है। इसी प्रकार \(B=[-1,\infty)\) का पूरक \(B'=(-\infty,-1)\) है, क्योंकि −1 समुच्चय \(B\) में शामिल है। कोई वास्तविक संख्या एक साथ 2 से बड़ी और −1 से छोटी नहीं हो सकती, इसलिए \(A'\cap B'=\varnothing\) है। विकल्प \((2,\infty)\) केवल \(A'\) है, उनका प्रतिच्छेद नहीं। परीक्षा-टिप: पूरक निकालते समय अंतराल के सिरों पर खुले और बंद कोष्ठकों को ध्यान से बदलें। / With respect to \(U=\mathbb{R}\), the complement of \(A=(-\infty,2]\) is \(A'=(2,\infty)\), since 2 belongs to \(A\). Similarly, the complement of \(B=[-1,\infty)\) is \(B'=(-\infty,-1)\), since −1 belongs to \(B\). No real number can be both greater than 2 and less than −1, so \(A'\cap B'=\varnothing\). The option \((2,\infty)\) represents only \(A'\), not the intersection. Exam tip: While taking complements of intervals, check endpoint inclusion carefully.