What is the number of solutions of (2x+3y=11) and (4x+6y=22)?समीकरणों (2x+3y=11) और (4x+6y=22) के हलों की संख्या क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Infinitely many solutionsअनंत हल
The second equation is exactly twice the first: multiplying every term of \(2x+3y=11\) by 2 gives \(4x+6y=22\). Thus the two equations are not two different lines. They describe the same straight line, so every point on that line satisfies both equations. A pair of coincident linear equations has infinitely many solutions, not one or two.
To see this algebraically, divide the second equation by 2. It becomes \(2x+3y=11\), identical to the first equation. There is therefore only one independent condition for two variables. For example, choosing any suitable value of x determines a corresponding y, and all such pairs lie on the same line. Hence option A, infinitely many solutions, is correct. “No solution” would apply when parallel distinct lines are represented.दूसरा समीकरण पहले समीकरण का ठीक दो गुना है। पहले समीकरण \(2x+3y=11\) के प्रत्येक पद को 2 से गुणा करने पर \(4x+6y=22\) मिलता है। इसलिए दोनों अलग-अलग रेखाएँ नहीं हैं; वे एक ही सीधी रेखा को दर्शाते हैं। एक ही रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है, इसलिए हलों की संख्या अनंत होती है।
बीजगणितीय रूप से दूसरे समीकरण को 2 से भाग देने पर फिर \(2x+3y=11\) ही मिलता है, जो पहले के समान है। दो चरों के लिए केवल एक स्वतंत्र शर्त बचती है, इसलिए अनेक युग्म \((x,y)\) संभव हैं। उदाहरण के लिए x का कोई उपयुक्त मान चुनकर y निकाला जा सकता है और सभी बिंदु उसी रेखा पर होंगे। अतः विकल्प A सही है। कोई हल नहीं तब होता जब रेखाएँ अलग और समानांतर हों।
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