What is the value of a for the equations ax + 4y = 10 and 3x + 6y = 15 to have infinitely many solutions?समीकरण ax + 4y = 10 और 3x + 6y = 15 के अनंत हल होने के लिए a का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: a = 2a = 2
For a pair of linear equations a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 to have infinitely many solutions, the three ratios a₁/a₂, b₁/b₂, and c₁/c₂ must be equal. Rewrite the equations as ax + 4y − 10 = 0 and 3x + 6y − 15 = 0. Since 4/6 = 10/15 = 2/3, we require a/3 = 2/3. Therefore a = 2, so option B is correct. This makes the first equation exactly two-thirds of the second: 2x + 4y − 10 = 0 after scaling, while the second is 3x + 6y − 15 = 0. Options A, C, and D fail the proportionality condition and would produce a unique or inconsistent relationship rather than infinitely many solutions.दो रैखिक समीकरणों के अनंत हल होने की शर्त है कि उनके x-गुणांकों, y-गुणांकों और स्थिर पदों के अनुपात समान हों। समीकरणों को ax + 4y − 10 = 0 तथा 3x + 6y − 15 = 0 लिखें। यहाँ 4/6 = 10/15 = 2/3 है। इसलिए a/3 भी 2/3 होना चाहिए, जिससे a = 2 प्राप्त होता है। अतः विकल्प B सही है। a = 2 रखने पर पहला समीकरण 2x + 4y − 10 = 0 और दूसरा 3x + 6y − 15 = 0 होगा; दोनों एक ही रेखा को व्यक्त करते हैं, इसलिए उस रेखा के प्रत्येक बिंदु परिमित नहीं बल्कि अनंत हल देता है। A, C और D में तीनों अनुपात समान नहीं होंगे, इसलिए अनंत हल की शर्त पूरी नहीं होगी।
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