If (2x+3y=16) and (4x+6y=32), which statement is correct?यदि (2x+3y=16) और (4x+6y=32), तो सही कथन क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: There are infinitely many solutionsअनंत हल हैं
Compare the two equations after multiplying the first equation by 2. The result is 4x+6y=32, which is exactly the second equation. Thus both equations represent the same straight line, not two different intersecting lines. Every point satisfying 2x+3y=16 also satisfies the second equation, so there are infinitely many ordered pairs in the solution set. For example, x=2 gives y=4, while x=5 gives y=2; both are different solutions. Therefore option C is correct. A unique solution would require two distinct lines meeting at one point. No solution would occur for parallel distinct lines, where the coefficient ratios agree but the constant ratio differs. Option D is also false: x=0 gives y=16/3, but it is only one of infinitely many solutions, not the only one.पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर 2(2x+3y=16) से 4x+6y=32 प्राप्त होता है, जो दूसरे समीकरण के बिल्कुल समान है। इसलिए दोनों समीकरण दो अलग-अलग रेखाओं के बजाय एक ही रेखा को दर्शाते हैं। पहले समीकरण को संतुष्ट करने वाला प्रत्येक क्रमित युग्म दूसरे को भी संतुष्ट करेगा, अतः हलों की संख्या अनंत है। उदाहरण के लिए x=2 रखने पर y=4 और x=5 रखने पर y=2 मिलता है; दोनों अलग-अलग हल हैं। इसलिए विकल्प C सही है। अद्वितीय हल तब होता जब दो अलग रेखाएँ एक बिंदु पर काटतीं। कोई हल नहीं होने की स्थिति में रेखाएँ समानांतर और अलग होतीं। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि x=0 पर y=16/3 मिलता है, पर यह केवल एक हल है। यहाँ अनुपातों के बजाय यह देखना पर्याप्त है कि दूसरा समीकरण पहले का पूर्णतः 2 गुना है।
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