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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Venn Diagrams Hard Level 13

यदि \(n(A)=80\), \(n(A\cap B)=35\), \(n(A\cap C)=32\) और \(n(A\cap B\cap C)=14\) है, तो केवल A में आने वाले तत्व कितने हैं?

If \(n(A)=80\), \(n(A\cap B)=35\), \(n(A\cap C)=32\), and \(n(A\cap B\cap C)=14\), how many elements are only in A?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

C. 27

Explanation

Simple Explanation

केवल A में आने वाले तत्वों की गिनती के लिए तीन-समुच्चयों के समावेशन–अपवर्जन (inclusion–exclusion) सिद्धांत का उपयोग करें: केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). संख्याएँ डालने पर \(80-35-32+14=27\)। कारण: \(A\cap B\) और \(A\cap C\) दोनों में त्रि-आवरण \(A\cap B\cap C\) दो बार घटाया गया था, इसलिए उसे एक बार वापस जोड़ना आवश्यक है। आम भूल: त्रि-आवरण को जोड़ना भूलने पर \(80-35-32=13\) मिलता है (विकल्प A) — यह गलत है। परीक्षा टिप: तीन-सेट वाला वेंस आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र के हिस्सों को अलग-अलग लिखें और फिर inclusion–exclusion सूत्र लगाएँ। / Use the inclusion–exclusion idea for three sets: only A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). Substituting gives \(80-35-32+14=27\). Explanation: the elements in \(A\cap B\) and \(A\cap C\) cause the triple intersection \(A\cap B\cap C\) to be subtracted twice, so add it back once. Common mistake: forgetting to add back the triple intersection yields \(80-35-32=13\) (option A), which is incorrect. Exam tip: label each region of a 3-set Venn diagram or directly apply the inclusion–exclusion formula to avoid sign errors.

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यदि \(n(A)=80\), \(n(A\cap B)=35\), \(n(A\cap C)=32\) और \(n(A\cap B\cap C)=14\) है, तो केवल A में आने वाले तत्व कितने हैं? / If \(n(A)=80\), \(n(A\cap B)=35\), \(n(A\cap C)=32\), and \(n(A\cap B\cap C)=14\), how many elements are only in A?

Correct Answer: C. 27. Explanation: केवल A में आने वाले तत्वों की गिनती के लिए तीन-समुच्चयों के समावेशन–अपवर्जन (inclusion–exclusion) सिद्धांत का उपयोग करें: केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). संख्याएँ डालने पर \(80-35-32+14=27\)। कारण: \(A\cap B\) और \(A\cap C\) दोनों में त्रि-आवरण \(A\cap B\cap C\) दो बार घटाया गया था, इसलिए उसे एक बार वापस जोड़ना आवश्यक है। आम भूल: त्रि-आवरण को जोड़ना भूलने पर \(80-35-32=13\) मिलता है (विकल्प A) — यह गलत है। परीक्षा टिप: तीन-सेट वाला वेंस आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र के हिस्सों को अलग-अलग लिखें और फिर inclusion–exclusion सूत्र लगाएँ। / Use the inclusion–exclusion idea for three sets: only A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). Substituting gives \(80-35-32+14=27\). Explanation: the elements in \(A\cap B\) and \(A\cap C\) cause the triple intersection \(A\cap B\cap C\) to be subtracted twice, so add it back once. Common mistake: forgetting to add back the triple intersection yields \(80-35-32=13\) (option A), which is incorrect. Exam tip: label each region of a 3-set Venn diagram or directly apply the inclusion–exclusion formula to avoid sign errors.