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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Venn Diagrams Medium Level 14

यदि \(n(A)=39\), \(n(B)=44\), और ठीक एक समुच्चय में 51 तत्व हैं, तो \(n(A\cap B)\) कितना होगा?

If \(n(A)=39\), \(n(B)=44\), and 51 elements lie in exactly one of the two sets, what is \(n(A\cap B)\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
Correct answer and explanation
Correct Answer

B. 16

Explanation

Simple Explanation

दो समुच्चयों में "ठीक एक" तत्वों की संख्या इस प्रकार व्यक्त की जाती है: \(\text{exactly one}=n(A)+n(B)-2\,n(A\cap B)\). यहाँ \(n(A)+n(B)=39+44=83\)। इसलिए \(83-2\,n(A\cap B)=51\)। इससे \(2\,n(A\cap B)=32\) और अतः \(n(A\cap B)=16\)। विकल्प A (12) गलत है क्योंकि यदि \(n(A\cap B)=12\) होता तो ठीक एक = \(83-2\times12=59\) होता, जो दिया गया 51 से मेल नहीं खाता। परीक्षा-सूत्र: एक सरल वेन-आरेख बनाकर मध्य भाग (इंटरसेक्शन) को \(x\) मानें और बाहर के दो हिस्सों को क्रमशः \(39-x\) और \(44-x\) लिखकर कुल "ठीक एक" जोड़ लें—यह जल्दी और त्रुटि-रहित तरीका है। / For two sets the number of elements in exactly one set is given by \(\text{exactly one}=n(A)+n(B)-2\,n(A\cap B)\). Here \(n(A)+n(B)=39+44=83\). So \(83-2\,n(A\cap B)=51\), giving \(2\,n(A\cap B)=32\) and \(n(A\cap B)=16\). Option A (12) is wrong because substituting 12 gives \(83-2\times12=59\), not 51. Exam tip: draw a two-circle Venn diagram, label the intersection as \(x\) and express the two outer regions as \(39-x\) and \(44-x\); summing the outer regions equals the "exactly one" count and avoids algebraic sign mistakes.

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Correct Answer: B. 16. Explanation: दो समुच्चयों में "ठीक एक" तत्वों की संख्या इस प्रकार व्यक्त की जाती है: \(\text{exactly one}=n(A)+n(B)-2\,n(A\cap B)\). यहाँ \(n(A)+n(B)=39+44=83\)। इसलिए \(83-2\,n(A\cap B)=51\)। इससे \(2\,n(A\cap B)=32\) और अतः \(n(A\cap B)=16\)। विकल्प A (12) गलत है क्योंकि यदि \(n(A\cap B)=12\) होता तो ठीक एक = \(83-2\times12=59\) होता, जो दिया गया 51 से मेल नहीं खाता। परीक्षा-सूत्र: एक सरल वेन-आरेख बनाकर मध्य भाग (इंटरसेक्शन) को \(x\) मानें और बाहर के दो हिस्सों को क्रमशः \(39-x\) और \(44-x\) लिखकर कुल "ठीक एक" जोड़ लें—यह जल्दी और त्रुटि-रहित तरीका है। / For two sets the number of elements in exactly one set is given by \(\text{exactly one}=n(A)+n(B)-2\,n(A\cap B)\). Here \(n(A)+n(B)=39+44=83\). So \(83-2\,n(A\cap B)=51\), giving \(2\,n(A\cap B)=32\) and \(n(A\cap B)=16\). Option A (12) is wrong because substituting 12 gives \(83-2\times12=59\), not 51. Exam tip: draw a two-circle Venn diagram, label the intersection as \(x\) and express the two outer regions as \(39-x\) and \(44-x\); summing the outer regions equals the "exactly one" count and avoids algebraic sign mistakes.