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Subjects
Class 12 Mathematics Relations and Functions Binary operations Expert Level 28

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर कुल कितनी क्रमविनिमेय द्विआधारी क्रियाएँ परिभाषित की जा सकती हैं?

If (A) has (n) elements, how many commutative binary operations can be defined on (A)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published:
Correct answer and explanation
Correct Answer

C. \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\)

Step 1

Concept

क्रमविनिमेय क्रिया में (a*b=b*a), इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) का मान एक जैसा होना चाहिए। / In a commutative operation, (a*b=b*a), so ((a,b)) and ((b,a)) must have the same value.

Step 2

Why this answer is correct

स्वतंत्र स्थानों की संख्या (n) विकर्ण युग्मों और (\frac{n(n-1)}{2}) अविकर्ण युग्मों को मिलाकर (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। / The number of independent positions is (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).

Step 3

Exam Tip

हर स्वतंत्र स्थान पर (n) विकल्प हैं, इसलिए कुल क्रियाएँ \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होंगी। / Each independent position has (n) choices, so the total number of operations is \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\).

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Mathematics Answer, Explanation and Revision Hints

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर कुल कितनी क्रमविनिमेय द्विआधारी क्रियाएँ परिभाषित की जा सकती हैं? / If (A) has (n) elements, how many commutative binary operations can be defined on (A)?

Correct Answer: C. \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\). Explanation: चरण 1: क्रमविनिमेय क्रिया में (a*b=b*a), इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) का मान एक जैसा होना चाहिए। चरण 2: स्वतंत्र स्थानों की संख्या (n) विकर्ण युग्मों और (\frac{n(n-1)}{2}) अविकर्ण युग्मों को मिलाकर (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। चरण 3: हर स्वतंत्र स्थान पर (n) विकल्प हैं, इसलिए कुल क्रियाएँ \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होंगी। / Step 1: In a commutative operation, (a*b=b*a), so ((a,b)) and ((b,a)) must have the same value. Step 2: The number of independent positions is (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}). Step 3: Each independent position has (n) choices, so the total number of operations is \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\).

Why is option C correct in this Mathematics MCQ?

स्वतंत्र स्थानों की संख्या (n) विकर्ण युग्मों और (\frac{n(n-1)}{2}) अविकर्ण युग्मों को मिलाकर (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। / The number of independent positions is (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).

What should I remember for this Mathematics concept?

हर स्वतंत्र स्थान पर (n) विकल्प हैं, इसलिए कुल क्रियाएँ \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होंगी। / Each independent position has (n) choices, so the total number of operations is \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\).