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Subjects
Class 9 Mathematics Sequences and Progressions nth term Expert Level 56

निम्नलिखित में से किस अनुक्रम का nवाँ पद n का द्विघात फलन है, जिसके क्रमागत पदों के द्वितीय अंतर समान होते हैं?

Which of the following sequences has an nth term that is a quadratic function of n, so that the second differences of consecutive terms are constant?

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A. \(a_n=n^2+1\)

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Simple Explanation

\(a_n=n^2+1\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=(n+1)^2+1-(n^2+1)=2n+1\) होता है। अतः क्रमागत प्रथम अंतरों का अंतर \(2\) है, जो स्थिर है। \(3n-2\) रैखिक फलन है, इसलिए उसके प्रथम अंतर ही स्थिर होते हैं और द्वितीय अंतर \(0\) होता है; यह द्विघात फलन नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के स्थिर, अशून्य द्वितीय अंतर सामान्यतः द्विघात पद का संकेत देते हैं। / For \(a_n=n^2+1\), \(a_{n+1}-a_n=(n+1)^2+1-(n^2+1)=2n+1\). The difference between consecutive first differences is therefore \(2\), which is constant. \(3n-2\) is linear: its first differences are already constant and its second difference is \(0\), so it is not a quadratic function. Exam tip: constant non-zero second differences usually indicate a quadratic sequence.

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निम्नलिखित में से किस अनुक्रम का nवाँ पद n का द्विघात फलन है, जिसके क्रमागत पदों के द्वितीय अंतर समान होते हैं? / Which of the following sequences has an nth term that is a quadratic function of n, so that the second differences of consecutive terms are constant?

Correct Answer: A. \(a_n=n^2+1\). Explanation: \(a_n=n^2+1\) के लिए \(a_{n+1}-a_n=(n+1)^2+1-(n^2+1)=2n+1\) होता है। अतः क्रमागत प्रथम अंतरों का अंतर \(2\) है, जो स्थिर है। \(3n-2\) रैखिक फलन है, इसलिए उसके प्रथम अंतर ही स्थिर होते हैं और द्वितीय अंतर \(0\) होता है; यह द्विघात फलन नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के स्थिर, अशून्य द्वितीय अंतर सामान्यतः द्विघात पद का संकेत देते हैं। / For \(a_n=n^2+1\), \(a_{n+1}-a_n=(n+1)^2+1-(n^2+1)=2n+1\). The difference between consecutive first differences is therefore \(2\), which is constant. \(3n-2\) is linear: its first differences are already constant and its second difference is \(0\), so it is not a quadratic function. Exam tip: constant non-zero second differences usually indicate a quadratic sequence.