What is the complete factorised form of x⁴ − 81?x⁴ − 81 का पूर्ण गुणनखंड रूप क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (x − 3)(x + 3)(x² + 9)(x − 3)(x + 3)(x² + 9)
The correct answer is B: (x − 3)(x + 3)(x² + 9). Begin by seeing x⁴ as (x²)² and 81 as 9². Using the difference-of-squares identity p² − q² = (p − q)(p + q), we get x⁴ − 81 = (x² − 9)(x² + 9). The factor x² − 9 can be factored again because it is another difference of squares: x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3). The factor x² + 9 is not factorised further over the real numbers. Therefore the complete factorisation is (x − 3)(x + 3)(x² + 9). Option A is only an intermediate step, not complete. Option C incorrectly treats x⁴ − 81 as x² − 81. Option D gives a square of x² − 9, which would produce different terms. Memory cue: after applying an identity, always check whether any factor can be broken further.सही उत्तर B है: (x − 3)(x + 3)(x² + 9)। सबसे पहले x⁴ को (x²)² और 81 को 9² लिखें। दो वर्गों के अंतर का सूत्र p² − q² = (p − q)(p + q) लगाने पर x⁴ − 81 = (x² − 9)(x² + 9) मिलता है। अब x² − 9 भी दो वर्गों का अंतर है, क्योंकि x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3)। इसलिए पूर्ण गुणनखंड रूप (x − 3)(x + 3)(x² + 9) है। x² + 9 को वास्तविक गुणांकों में आगे इसी प्रकार नहीं तोड़ा जा सकता। विकल्प A केवल पहला, अधूरा चरण है। विकल्प C में घातों को गलत ढंग से देखा गया है। विकल्प D में (x − 3) और (x + 3) दोनों का वर्ग है, इसलिए वह मूल व्यंजक नहीं देता। याद रखें: गुणनखंडन के बाद प्रत्येक भाग को फिर से जाँचें कि वह और टूट सकता है या नहीं।
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