If the previous hypotenuse at a step in a square root spiral is (\sqrt{n}), what is the new hypotenuse after adding a (1) unit perpendicular?वर्गमूल सर्पिल में किसी चरण पर पिछला कर्ण (\sqrt{n}) हो, तो (1) इकाई लंब जोड़ने पर नया कर्ण क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1})
A square root spiral uses right triangles to create successive lengths. If the old hypotenuse is \(\sqrt{n}\) and a new perpendicular of length 1 is drawn at a right angle, the old hypotenuse becomes one leg of the larger right triangle. The new hypotenuse is therefore found from the squares of the two perpendicular sides, not by simply adding lengths.
By Pythagoras, the new length is \(\sqrt{(\sqrt{n})^2+1^2}\). Since \((\sqrt{n})^2=n\) and \(1^2=1\), this becomes \(\sqrt{n+1}\). Thus option A is correct. The other choices either subtract, double, or square the wrong quantity.वर्गमूल सर्पिल में क्रमिक लंबाइयाँ समकोण त्रिभुजों की सहायता से बनाई जाती हैं। यदि पुराना कर्ण \(\sqrt{n}\) है और उसके सिरे पर समकोण बनाते हुए 1 इकाई की नई लंब खींची जाती है, तो पुराना कर्ण बड़े समकोण त्रिभुज की एक भुजा बन जाता है। नई लंबाई सीधे जोड़कर नहीं निकाली जाती।
पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण \(\sqrt{(\sqrt{n})^2+1^2}\) होगा। यहाँ \((\sqrt{n})^2=n\) और \(1^2=1\), इसलिए परिणाम \(\sqrt{n+1}\) है। अतः विकल्प A सही है। बाकी विकल्पों में घटाव, अनुचित दुगुना करना या गलत वर्ग लेना दिखाया गया है।
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