In a visual proof, a square of side a+b+c is divided into nine parts. Three square parts have areas a², b², and c². What is the total area of the rectangular parts?एक दृश्य प्रमाण में a+b+c भुजा वाले वर्ग को नौ भागों में बाँटा गया है। तीन वर्गाकार भागों के क्षेत्रफल a², b² और c² हैं। आयताकार भागों का कुल क्षेत्रफल क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 2ab+2bc+2ca — 2ab+2bc+2ca2ab+2bc+2ca — 2ab+2bc+2ca
The direct answer is B: 2ab+2bc+2ca. The full square has side a+b+c, so its area is (a+b+c)². The three diagonal square regions contribute a², b², and c². For each pair of different lengths, there are two equal rectangles: two a by b rectangles contribute 2ab, two b by c rectangles contribute 2bc, and two c by a rectangles contribute 2ca. Therefore the total rectangular area is 2ab+2bc+2ca. A counts only one rectangle for each pair and misses the matching partner. C is a length, not the total area. D counts only the three square regions and leaves out every rectangle. Memory cue: expanding a trinomial square creates each pairwise product twice.सीधा उत्तर B है: 2ab+2bc+2ca। पूरे वर्ग की भुजा a+b+c है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (a+b+c)² होगा। तीन वर्गाकार भागों के क्षेत्रफल क्रमशः a², b² और c² हैं। अलग-अलग लंबाइयों की प्रत्येक जोड़ी से दो समान आयत बनते हैं: a और b से बने दो आयतों का कुल क्षेत्रफल 2ab, b और c से बने दो आयतों का कुल क्षेत्रफल 2bc, तथा c और a से बने दो आयतों का कुल क्षेत्रफल 2ca है। इसलिए सभी आयताकार भागों का योग 2ab+2bc+2ca होगा। A प्रत्येक जोड़ी का केवल एक आयत गिनता है। C लंबाई है, क्षेत्रफल नहीं। D केवल तीन वर्गों का क्षेत्रफल है और आयतों को छोड़ देता है। याद रखें: त्रिपद के वर्ग में हर जोड़ी का गुणनफल दो बार आता है।
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