In a square of side \(5p-q\), what is the combined middle area containing the \(pq\)-terms?भुजा \(5p-q\) वाले वर्ग में \(pq\) वाले पदों का संयुक्त मध्य क्षेत्रफल कौन-सा होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(-10pq\)\(-10pq\)
The direct answer is C: \(-10pq\). The square has side \(5p-q"). Treat its two parts as \(u=5p\) and \(v=-q\). The square identity is \((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\). The two middle rectangles together have area \(2uv\), so here it is \(2(5p)(-q)=-10pq\). The negative sign appears because one part of the side is a subtraction. Option A forgets the factor 2 and also misses the negative sign. Option B includes the factor 2 but treats \(-q\) as positive. Option D is the square of \(5p\), namely the first corner square, not the combined middle area. The full expansion is \(25p^2-10pq+q^2\). Memory cue: two middle rectangles give twice the product, and a minus side makes that product negative.सीधा उत्तर C है: \(-10pq\)। वर्ग की भुजा \(5p-q\) को \(u+v\) के रूप में लिखें, जहाँ \(u=5p\) और \(v=-q\)। सूत्र \((u+v)^2=u^2+2uv+v^2\) में बीच के दो आयतों का संयुक्त क्षेत्रफल \(2uv\) होता है। इसलिए यहाँ संयुक्त मध्य क्षेत्रफल \(2(5p)(-q)=-10pq\) है। ऋणात्मक चिन्ह इसलिए आया क्योंकि भुजा में \(-q\) है। विकल्प A में 2 का गुणक छूट गया और चिन्ह भी गलत है। विकल्प B में 2 तो है, लेकिन \(-q\) को धनात्मक मान लिया गया है। विकल्प D, \(25p^2\), केवल पहले कोने के वर्ग का क्षेत्रफल है, मध्य भाग का नहीं। पूरा विस्तार \(25p^2-10pq+q^2\) होता है। याद रखें: दो मध्य आयतों के कारण गुणनफल दुगुना होता है और घटाव होने पर उसका चिन्ह ऋणात्मक होता है।
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