A visual model compares the area of ((x+a)(x+b)) and ((x+(a+b)/2)^2). How much greater is the second area than the first?एक दृश्य मॉडल में ((x+a)(x+b)) का क्षेत्रफल और ((x+(a+b)/2)^2) का क्षेत्रफल तुलना किया गया। दूसरा क्षेत्र पहले से कितना अधिक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ((a-b)^2/4)((a-b)^2/4)
The direct answer is B: the second area is greater by (a-b)^2/4. Expand the first expression: (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab. For the second expression, use the square identity: (x+(a+b)/2)^2 = x^2+(a+b)x+(a+b)^2/4. Both expressions contain exactly the same x^2 term and the same linear term (a+b)x, so those parts cancel when we compare areas. The difference is (a+b)^2/4-ab. Put over a common denominator: [(a+b)^2-4ab]/4 = [a^2+2ab+b^2-4ab]/4 = (a^2-2ab+b^2)/4 = (a-b)^2/4. Option A is only a length-like quantity, not the area difference. Option B gives the complete remaining constant area. Option C subtracts the wrong constant terms and ignores the square model. Option D does not simplify to the required difference. The result is always nonnegative because it is a square divided by 4.सीधा उत्तर B है: दूसरा क्षेत्रफल पहले से (a-b)^2/4 अधिक है। पहले व्यंजक का विस्तार करें: (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab। दूसरे के लिए वर्ग की पहचान लगाएँ: (x+(a+b)/2)^2=x^2+(a+b)x+(a+b)^2/4। दोनों में x^2 और (a+b)x समान हैं, इसलिए तुलना करते समय ये पद कट जाते हैं। अंतर केवल स्थिर पदों का है: (a+b)^2/4-ab। समान हर लेकर इसे [(a+b)^2-4ab]/4 लिखें। ऊपर का विस्तार a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 है। इसलिए अंतर (a-b)^2/4 मिलता है। A केवल लंबाई जैसा पद है, क्षेत्रफल-अंतर नहीं। B पूरा सही अंतर देता है। C में गलत स्थिर पद घटाए गए हैं और वर्ग की रचना छूट गई है। D आवश्यक सरल परिणाम नहीं देता। ध्यान दें कि यह परिणाम हमेशा शून्य या धनात्मक होता है, क्योंकि यह किसी वर्ग को 4 से भाग देने पर बना है।
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