A rectangle is divided into parts with areas x², 3x, 5x, and 15. What can be the two side lengths of the rectangle?एक आयत को x², 3x, 5x और 15 क्षेत्रफल वाले भागों में बाँटा गया है। आयत की संभावित दो भुजाएँ क्या हो सकती हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: x + 3 and x + 5x + 3 and x + 5
The correct answer is A: x + 3 and x + 5. Add the four displayed areas: x² + 3x + 5x + 15 = x² + 8x + 15. To find side lengths, look for two binomials whose product has middle coefficient 8 and constant product 15. Since 3 + 5 = 8 and 3 × 5 = 15, factorisation gives x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5). Therefore the rectangle can have sides x + 3 and x + 5. Option B is based on the numbers 8 and 15 themselves, but (x + 8)(x + 15) has middle term 23x and constant 120, so it does not match. Option C gives (x − 3)(x − 5) = x² − 8x + 15, with the wrong sign on the middle term. Option D gives x² + 8x + 12, so its constant product is wrong. Memory cue: in (x+p)(x+q), p+q is the coefficient of x and pq is the constant term.सही उत्तर A है: x + 3 और x + 5। दिए गए चारों भागों के क्षेत्रफल जोड़ें: x² + 3x + 5x + 15 = x² + 8x + 15। अब ऐसी दो द्विपद राशियाँ खोजें जिनके स्थिर अंकों का योग 8 और गुणनफल 15 हो। 3 + 5 = 8 तथा 3 × 5 = 15, इसलिए x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)। अतः आयत की भुजाएँ x + 3 और x + 5 हो सकती हैं। B में 8 और 15 को सीधे भुजाओं में रख दिया गया है, लेकिन (x + 8)(x + 15) का मध्य पद 23x और स्थिर पद 120 होगा, इसलिए वह मेल नहीं खाता। C से (x − 3)(x − 5) = x² − 8x + 15 मिलता है; मध्य पद का चिह्न गलत है। D से x² + 8x + 12 मिलता है, इसलिए उसका स्थिर गुणनफल 15 नहीं है। याद रखें: (x+p)(x+q) में p+q मध्य पद का गुणांक और pq स्थिर पद होता है।
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