What is the factorised form of (x^2+2xy+y^2-z^2)?(x^2+2xy+y^2-z^2) का गुणनखंड रूप कौन सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ((x+y-z)(x+y+z))((x+y-z)(x+y+z))
The first three terms are the perfect square \(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\). The expression becomes \((x+y)^2-z^2\), which is a difference of squares. Using \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\), with \(u=x+y\) and \(v=z\), gives \((x+y-z)(x+y+z)\). Therefore option A is correct.
Expanding confirms it: \((x+y-z)(x+y+z)=(x+y)^2-z^2=x^2+2xy+y^2-z^2\). Option C is an equivalent intermediate form but not the complete factorisation. Option B changes \(x+y\) to \(x-y\), altering the middle term, and D does not reproduce the expression. Recognising a perfect square before applying difference of squares makes the process short and reliable.पहले तीन पद पूर्ण वर्ग हैं: \(x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\)। इसलिए पूरा व्यंजक \((x+y)^2-z^2\) बनता है, जो वर्गों का अंतर है। पहचान \(u^2-v^2=(u-v)(u+v)\) में \(u=x+y\) और \(v=z\) रखने पर \((x+y-z)(x+y+z)\) मिलता है। अतः विकल्प A सही है।
जाँच करें: \((x+y-z)(x+y+z)=(x+y)^2-z^2=x^2+2xy+y^2-z^2\)। विकल्प C सही मध्यवर्ती रूप है, पर पूर्ण गुणनखंड रूप नहीं है। विकल्प B में \(x+y\) के स्थान पर \(x-y\) आने से मध्य पद बदल जाता है और D से मूल व्यंजक प्राप्त नहीं होता। पहले पूर्ण वर्ग पहचानना और फिर वर्गों का अंतर लगाना सरल तथा विश्वसनीय विधि है।
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